Polinômio de Euler é um polinômio assim nomeado por ter sido descoberto pelo matemático suíço Leonhard Euler. Sua característica marcante é a riqueza de propriedades aritméticas. A mais conhecida é a de ser um polinômio que quando seus valores são tabelados geram uma longa sequência de números primos.
Expresso como uma função em n, f(n), no domínio dos números inteiros toma a notação
Há ainda mais um polinômio relacionado, que difere do primeiro por um sinal:
Os valores são quase os mesmos, exceto que para 0 e 1 o valor não se repete e que a primalidade só vai até 39, pois ao valor 40 é atribuído o quadrado de 41.
Tabela de valores
Segue a tabela de valores para este f(n) entre 0 e 41 (sequência A005846 na OEIS):
| n
|
f(n)
|
é primo
|
| 0
|
41
|
sim
|
| 1
|
41
|
sim
|
| 2
|
43
|
sim
|
| 3
|
47
|
sim
|
| 4
|
53
|
sim
|
| 5
|
61
|
sim
|
| 6
|
71
|
sim
|
| 7
|
83
|
sim
|
| 8
|
97
|
sim
|
| 9
|
113
|
sim
|
| 10
|
131
|
sim
|
| 11
|
151
|
sim
|
| 12
|
173
|
sim
|
| 13
|
197
|
sim
|
| 14
|
223
|
sim
|
| 15
|
251
|
sim
|
| 16
|
281
|
sim
|
| 17
|
313
|
sim
|
| 18
|
347
|
sim
|
| 19
|
383
|
sim
|
| 20
|
421
|
sim
|
| 21
|
461
|
sim
|
| 22
|
503
|
sim
|
| 23
|
547
|
sim
|
| 24
|
593
|
sim
|
| 25
|
641
|
sim
|
| 26
|
691
|
sim
|
| 27
|
743
|
sim
|
| 28
|
797
|
sim
|
| 29
|
853
|
sim
|
| 30
|
911
|
sim
|
| 31
|
971
|
sim
|
| 32
|
1033
|
sim
|
| 33
|
1097
|
sim
|
| 34
|
1163
|
sim
|
| 35
|
1231
|
sim
|
| 36
|
1301
|
sim
|
| 37
|
1373
|
sim
|
| 38
|
1447
|
sim
|
| 39
|
1523
|
sim
|
| 40
|
1601
|
sim
|
| 41
|
1681
|
não
|
Percebe-se que para 41 a expressão numérica torna-se um quadrado perfeito:
