Polinômio característico

Em álgebra linear, o polinômio característico de uma matriz ${\displaystyle A_{n\times n}}$ ou de um operador linear ${\displaystyle A\in L(V,V)}$ em um espaço vetorial ${\displaystyle V}$ de dimensão finita ${\displaystyle n}$ com base ${\displaystyle C}$ é o polinômio:^[1][2][3]

$${\displaystyle p_{A}(x)=\det[xI-A]_{C}}$$

em que ${\displaystyle \det }$ é o determinante e ${\displaystyle I}$ é a matriz identidade ${\displaystyle n\times n}$ (ou o operador identidade). Este é um polinômio mônico de grau ${\displaystyle n,}$ ou seja, o coeficiente do termo de maior grau é ${\displaystyle 1.}$ Os autovalores de ${\displaystyle A}$ são as raízes de seu polinômio característico.^[4]

O polinômio minimal de um operador linear A em L(V, V) é o polinômio mônico m_A(x) de menor grau tal que ${\displaystyle m_{A}(A)(v)=0,}$ ${\displaystyle \forall v\in V.}$

Motivação

Uma matriz quadrada "A" é singular se, e somente se, 0 é um autovalor de A. Esta é, aliás, a principal técnica para descobrir se uma matriz é singular: $${\displaystyle \det \left(\lambda I-A\right)=0.}$$ Para uma matriz de ordem ${\displaystyle n\times n}$, o lado esquerdo desta equação é um polinômio de grau n na variável λ, denominado polinômio característico de A.^[5]

Alguns autores definem o polinômio característico como ${\displaystyle \det \left(A-\lambda I\right)}$. Tal polinômio difere do que foi apresentado neste artigo por um sinal (−1)ⁿ, e isso não faz diferença para propriedades como a de ter os autovalores de A como raízes; no entanto, a definição deste artigo sempre produz um polinômio mônico, enquanto que a definição alternativa só resulta em um polinômio mônico quando ${\displaystyle n}$ é par.

Exemplos

• Seja ${\displaystyle A}$ uma matriz de ordem ${\displaystyle 2\times 2}$ dada por $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}}.}$$ Então, seu polinômio característico é $${\displaystyle {\begin{aligned}p_{A}(\lambda )&=\det \left(\lambda I-A\right)\\&=\det \left(\lambda {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}}\right)\\&=\det \left({\begin{bmatrix}\lambda -a_{11}&-a_{12}\\-a_{21}&\lambda -a_{22}\end{bmatrix}}\right)\\&=\left[\left(\lambda -a_{11}\right)\left(\lambda -a_{22}\right)\right]-\left[a_{12}a_{21}\right]\\&=\lambda ^{2}-\left(a_{11}+a_{22}\right)\lambda +\left(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\right)\\&=\lambda ^{2}-{\text{tr}}(A)\lambda +\det(A)\end{aligned}},}$$ em que ${\displaystyle {\text{tr}}(A)}$ é o traço de ${\displaystyle A.}$
• Seja ${\displaystyle \mho }$ uma matriz de ordem ${\displaystyle 3\times 3}$dada por: $${\displaystyle \mho ={\begin{bmatrix}\mho _{11}&\mho _{12}&\mho _{13}\\\mho _{21}&\mho _{22}&\mho _{23}\\\mho _{31}&\mho _{32}&\mho _{33}\end{bmatrix}}}$$Então, seu polinômio característico é: $${\displaystyle {\begin{aligned}p_{\mho }(\lambda )&=\det \left(\lambda I-\mho \right)\\&=\det \left(\lambda {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}\mho _{11}&\mho _{12}&\mho _{13}\\\mho _{21}&\mho _{22}&\mho _{23}\\\mho _{31}&\mho _{32}&\mho _{33}\\\end{bmatrix}}\right)\\&=\det \left({\begin{bmatrix}\lambda -\mho _{11}&\mho _{12}&\mho _{13}\\\mho _{21}&\lambda -\mho _{22}&\mho _{23}\\\mho _{31}&\mho _{32}&\lambda -\mho _{33}\end{bmatrix}}\right)\\\end{aligned}}.}$$

Referências

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2. Anton, Howard; Rorres, Chris (2012). Álgebra Linear com aplicações 10 ed. [S.l.]: Bookman. p. 297 
3. Flávio Ulhoa Coelho; Mary Lilian Louenço. Um Curso De Álgebra Linear. pag. 136
4. Kolman, B. (2013). Álgebra linear com aplicações 9 ed. [S.l.]: LTC. ISBN 9788521622086 
5. SIMON, Carl P., e BLUME, Lawrence. Matemática para Economistas. Porto Alegre: Bookman, 2004, reimpressão 2008. ISBN 978-85-363-0307-9. Capítulo 23, página 585.

Bibliografia

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