Números de Euler

 Nota: Não confundir com Número de Euler.

Em matemática, os números de Euler são uma sequência E _n de inteiros (sequência A122045 na OEIS) definida pela expansão da série de Taylor

${\displaystyle {\frac {1}{\cosh t}}={\frac {2}{e^{t}+e^{-t}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{n}}{n!}}\cdot t^{n}}$ ,

onde ${\displaystyle \cosh(t)}$ é a função cosseno hiperbólico . Os números de Euler estão relacionados a um valor especial dos polinômios de Euler, a saber:

${\displaystyle E_{n}=2^{n}E_{n}({\tfrac {1}{2}}).}$

Os números de Euler aparecem nas expansões da série de Taylor das funções secante e secante hiperbólica. Esta última é a função na definição. Elas também ocorrem em combinatória, especificamente ao contar o número de permutações alternadas de um conjunto com um número par de elementos.

Exemplos

Os números de Euler de índices ímpares são todos zero. Os pares (sequência A028296 na OEIS) têm sinais alternados. Alguns valores são:

E0	=	1
E2	=	−1
E4	=	5
E6	=	−61
E8	=	7003138500000000000♠1385
E10	=	2995494790000000000♠−50521
E12	=	7006270276500000000♠2702765
E14	=	2991800639019000000♠−199360981
E16	=	7010193915121450000♠19391512145
E18	=	2987759512032455900♠−2404879675441

Alguns autores reindexam a sequência para omitir os números de Euler ímpares com valor zero, ou alteram todos os sinais para positivos (sequência A000364 na OEIS). Este artigo adere à convenção adotada acima.

Fórmulas explícitas

Em termos de números de Stirling do segundo tipo

As duas fórmulas a seguir expressam os números de Euler em termos de números de Stirling do segundo tipo^[1][2]

${\displaystyle E_{n}=2^{2n-1}\sum _{\ell =1}^{n}{\frac {(-1)^{\ell }S(n,\ell )}{\ell +1}}\left(3\left({\frac {1}{4}}\right)^{(\ell )}-\left({\frac {3}{4}}\right)^{(\ell )}\right),}$

${\displaystyle E_{2n}=-4^{2n}\sum _{\ell =1}^{2n}(-1)^{\ell }\cdot {\frac {S(2n,\ell )}{\ell +1}}\cdot \left({\frac {3}{4}}\right)^{(\ell )},}$

onde ${\displaystyle S(n,\ell )}$ dentota os números de Stirling do segundo tipo, e ${\displaystyle x^{(\ell )}=(x)(x+1)\cdots (x+\ell -1)}$ denota o fatorial descendente.

Como uma soma dupla

As duas fórmulas a seguir expressam os números de Euler como somas duplas^[3]

${\displaystyle E_{2n}=(2n+1)\sum _{\ell =1}^{2n}(-1)^{\ell }{\frac {1}{2^{\ell }(\ell +1)}}{\binom {2n}{\ell }}\sum _{q=0}^{\ell }{\binom {\ell }{q}}(2q-\ell )^{2n},}$

${\displaystyle E_{2n}=\sum _{k=1}^{2n}(-1)^{k}{\frac {1}{2^{k}}}\sum _{\ell =0}^{2k}(-1)^{\ell }{\binom {2k}{\ell }}(k-\ell )^{2n}.}$

Como uma soma iterada

Uma fórmula explícita para os números de Euler é: ^[4]

${\displaystyle E_{2n}=i\sum _{k=1}^{2n+1}\sum _{\ell =0}^{k}{\binom {k}{\ell }}{\frac {(-1)^{\ell }(k-2\ell )^{2n+1}}{2^{k}i^{k}k}},}$

onde i denota a unidade imaginária com i² = −1 .

Como uma soma sobre partições

O número de Euler E_2n pode ser expresso como uma soma sobre as partições pares de 2n,^[5]

${\displaystyle E_{2n}=(2n)!\sum _{0\leq k_{1},\ldots ,k_{n}\leq n}{\binom {K}{k_{1},\ldots ,k_{n}}}\delta _{n,\sum mk_{m}}\left(-{\frac {1}{2!}}\right)^{k_{1}}\left(-{\frac {1}{4!}}\right)^{k_{2}}\cdots \left(-{\frac {1}{(2n)!}}\right)^{k_{n}},}$

bem como uma soma sobre as partições ímpares de 2n − 1,^[6]

${\displaystyle E_{2n}=(-1)^{n-1}(2n-1)!\sum _{0\leq k_{1},\ldots ,k_{n}\leq 2n-1}{\binom {K}{k_{1},\ldots ,k_{n}}}\delta _{2n-1,\sum (2m-1)k_{m}}\left(-{\frac {1}{1!}}\right)^{k_{1}}\left({\frac {1}{3!}}\right)^{k_{2}}\cdots \left({\frac {(-1)^{n}}{(2n-1)!}}\right)^{k_{n}},}$

onde em ambos os casos K = k₁ + ··· + k_n e

${\displaystyle {\binom {K}{k_{1},\ldots ,k_{n}}}\equiv {\frac {K!}{k_{1}!\cdots k_{n}!}}}$

é um coeficiente multinomial . Os deltas de Kronecker nas fórmulas acima restringem as somas sobre os ks a 2k₁ + 4k₂ + ··· + 2nk_n = 2n e a k₁ + 3k₂ + ··· + (2n − 1)k_n = 2n − 1, respectivamente.

Como no exemplo:

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{10}&=10!\left(-{\frac {1}{10!}}+{\frac {2}{2!\,8!}}+{\frac {2}{4!\,6!}}-{\frac {3}{2!^{2}\,6!}}-{\frac {3}{2!\,4!^{2}}}+{\frac {4}{2!^{3}\,4!}}-{\frac {1}{2!^{5}}}\right)\\[6pt]&=9!\left(-{\frac {1}{9!}}+{\frac {3}{1!^{2}\,7!}}+{\frac {6}{1!\,3!\,5!}}+{\frac {1}{3!^{3}}}-{\frac {5}{1!^{4}\,5!}}-{\frac {10}{1!^{3}\,3!^{2}}}+{\frac {7}{1!^{6}\,3!}}-{\frac {1}{1!^{9}}}\right)\\[6pt]&=-50\,521.\end{aligned}}}$

Como um determinante

E_2n é dado pelo Determinante

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{2n}&=(-1)^{n}(2n)!~{\begin{vmatrix}{\frac {1}{2!}}&1&~&~&~\\{\frac {1}{4!}}&{\frac {1}{2!}}&1&~&~\\\vdots &~&\ddots ~~&\ddots ~~&~\\{\frac {1}{(2n-2)!}}&{\frac {1}{(2n-4)!}}&~&{\frac {1}{2!}}&1\\{\frac {1}{(2n)!}}&{\frac {1}{(2n-2)!}}&\cdots &{\frac {1}{4!}}&{\frac {1}{2!}}\end{vmatrix}}.\end{aligned}}}$

Como uma integral

E_2n também é dado pelas integrais:

${\displaystyle {\begin{aligned}(-1)^{n}E_{2n}&=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{2n}}{\cosh {\frac {\pi t}{2}}}}\;dt=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n+1}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{\cosh x}}\;dx\\[8pt]&=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n}\int _{0}^{1}\log ^{2n}\left(\operatorname {tg} {\frac {\pi t}{4}}\right)\,dt=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n+1}\int _{0}^{\pi /2}\log ^{2n}\left(\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}\right)\,dx\\[8pt]&={\frac {2^{2n+3}}{\pi ^{2n+2}}}\int _{0}^{\pi /2}x\log ^{2n}(\operatorname {tg} x)\,dx=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n+2}\int _{0}^{\pi }{\frac {x}{2}}\log ^{2n}\left(\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}\right)\,dx.\end{aligned}}}$

Congruências

W. Zhang^[7] obteve as seguintes identidades combinatórias relativas aos números de Euler. Para qualquer primo ${\displaystyle p}$, nós temos

${\displaystyle (-1)^{\frac {p-1}{2}}E_{p-1}\equiv \textstyle {\begin{cases}0\mod p&{\text{, se }}p\equiv 1{\bmod {4}};\\-2\mod p&{\text{, se }}p\equiv 3{\bmod {4}}.\end{cases}}}$

onde ${\displaystyle a{\bmod {b}}}$ denota o resto da divisão inteira de a por b.

W. Zhang e Z. Xu^[8] provaram que, para qualquer primo ${\displaystyle p\equiv 1{\pmod {4}}}$ e inteiro ${\displaystyle \alpha \geq 1}$, nós temos

${\displaystyle E_{\phi (p^{\alpha })/2}\not \equiv 0{\pmod {p^{\alpha }}}}$

onde ${\displaystyle \phi (n)}$ é a função totiente de Euler .

Aproximação assintótica

Os números de Euler crescem muito rapidamente para índices grandes, pois têm o seguinte limite inferior

${\displaystyle |E_{2n}|>8{\sqrt {\frac {n}{\pi }}}\left({\frac {4n}{\pi e}}\right)^{2n}.}$

Números em ziguezague de Euler

A série de Taylor de ${\displaystyle \sec x+\operatorname {tg} x=\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {x}{2}}\right)}$ é

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A_{n}}{n!}}x^{n},}$

onde A_n são os números em ziguezague de Euler, começando com

1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272, 1385, 7936, 50521, 353792, 2702765, 22368256, 199360981, 1903757312, 19391512145, 209865342976, 2404879675441, 29088885112832, ... (sequência A000111 na OEIS)

Para todos os n pares,

${\displaystyle A_{n}=(-1)^{\frac {n}{2}}E_{n},}$

onde E_n é o número de Euler; e para todo n ímpar,

${\displaystyle A_{n}=(-1)^{\frac {n-1}{2}}{\frac {2^{n+1}\left(2^{n+1}-1\right)B_{n+1}}{n+1}},}$

onde B_n é o número de Bernoulli .

${\displaystyle {\frac {A_{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {sen} {\left({\frac {n\pi }{2}}\right)}+\sum _{m=0}^{n-1}{\frac {A_{m}}{m!(n-m-1)!}}\operatorname {sen} {\left({\frac {m\pi }{2}}\right)}={\frac {1}{(n-1)!}}.}$ ^{[carece de fontes?]}

Ver também

• Número de Bernoulli
• Constante de Euler-Mascheroni

Referências

1. Jha, Sumit Kumar (2019). «A new explicit formula for Bernoulli numbers involving the Euler number». Moscow Journal of Combinatorics and Number Theory. 8 (4): 385–387. doi:10.2140/moscow.2019.8.389 
2. Jha, Sumit Kumar (15 de novembro de 2019). «A new explicit formula for the Euler numbers in terms of the Stirling numbers of the second kind» 
3. Wei, Chun-Fu; Qi, Feng (2015). «Several closed expressions for the Euler numbers». Journal of Inequalities and Applications. 219 (2015). doi:10.1186/s13660-015-0738-9 
4. Tang, Ross (11 de maio de 2012). «An Explicit Formula for the Euler zigzag numbers (Up/down numbers) from power series» (PDF). Arquivado do original (PDF) em 9 de abril de 2014 
5. Vella, David C. (2008). «Explicit Formulas for Bernoulli and Euler Numbers». Integers. 8 (1): A1 
6. Malenfant, J. «Finite, Closed-form Expressions for the Partition Function and for Euler, Bernoulli, and Stirling Numbers». arXiv:1103.1585 [math.NT] 
7. Zhang, W.P. (1998). «Some identities involving the Euler and the central factorial numbers» (PDF). Fibonacci Quarterly. 36 (4): 154–157. Cópia arquivada (PDF) em 23 de novembro de 2019 
8. Zhang, W.P.; Xu, Z.F. (2007). «On a conjecture of the Euler numbers». Journal of Number Theory. 127 (2): 283–291. doi:10.1016/j.jnt.2007.04.004 

Ligações externas

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Euler numbers», Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer 
• Weisstein, Eric W. «Euler number». MathWorld (em inglês)