Limites de integração

Os limites de integração são ${\displaystyle a=1}$ e ${\displaystyle b=4}$, logo, ${\displaystyle (-4^{-1})-(-1^{-1})={\frac {3}{4}}}$.

Na análise matemática e no cálculo, os limites de integração da integral de uma função integrável de Riemann ${\displaystyle f}$ definida em um intervalo fechado e limitada são os números reais ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$.

Fórmula de Newton-Leibniz

Pela fórmula de Newton-Leibniz, ${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)}$.^[1]

Exemplo

A função ${\displaystyle f(x)=x^{3}}$ limitada no intervalo ${\displaystyle [2,4]}$, ou seja com os limites da integração sendo ${\displaystyle 2}$ e ${\displaystyle 4}$.^[2]

${\displaystyle \int _{2}^{4}x^{3}\,dx={\frac {4^{4}}{4}}-{\frac {2^{4}}{4}}=64-4=60}$

Em uma mudança de variável

Seja ${\displaystyle f(x)}$ uma função contínua no intervalo ${\displaystyle a\leq x\leq b}$ e ${\displaystyle u=\varphi (x)}$ uma função contínua em ${\displaystyle \alpha \leq u\leq \beta }$, onde ${\displaystyle \alpha =\varphi (a)}$ e ${\displaystyle \beta =\varphi (b)}$ e ${\displaystyle f(\varphi (x))}$ é definida e contínua no intervalo ${\displaystyle \alpha \leq u\leq \beta }$, então^[3]

${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{b}f(x)dx=\int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(\varphi (x))\varphi '(x)dx=\int _{\alpha }^{\beta }f(u)du}$

Exemplo

${\displaystyle \int _{0}^{2}2x\cos(x^{2})dx=\int _{0}^{4}\cos(u)du}$

onde ${\displaystyle u=x^{2}}$ e ${\displaystyle du=2xdx}$. Portanto, ${\displaystyle \varphi (0)=0^{2}=0}$ e ${\displaystyle \varphi (2)=2^{2}=4}$. Daí, os novos limites de integração são ${\displaystyle 0}$ e ${\displaystyle 4}$.^[4]

O mesmo se aplica a outras substituições.

Integrais impróprias

A integral é imprópria, pois ${\displaystyle a=0}$ e ${\displaystyle F(x)=-x^{-1}}$ é indefinida nesse ponto.

Limites de integração também podem ser definidos para integrais impróprias, com os limites de integração de ambos^[3]

${\displaystyle \lim _{z\rightarrow a^{+}}\int _{z}^{b}f(x)\,dx}$ e ${\displaystyle \lim _{z\rightarrow b^{-}}\int _{a}^{z}f(x)\,dx}$

novamente sendo ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$. Para uma integral imprópria

${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx}$ ou ${\displaystyle \int _{-\infty }^{b}f(x)\,dx}$

os limites da integração são ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle \infty }$, ou ${\displaystyle -\infty }$ e ${\displaystyle b}$, respectivamente.

Integrais Definidas

Se ${\displaystyle c\in (a,b)}$, então

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\ dx=\int _{a}^{c}f(x)\ dx\ +\int _{c}^{b}f(x)\ dx}$.^[5]

Referências

1. «Newton-Leibniz formula - Encyclopedia of Mathematics». www.encyclopediaofmath.org. Consultado em 28 de outubro de 2019 
2. «31.5 Setting up Correct Limits of Integration». math.mit.edu. Consultado em 30 de setembro de 2020 
3. Demidovǐc, Boris P.; Baranenkov, G. (1964). Problems in mathematical analysis. Moscow(IS): Moskva. ISBN 0846407612. OCLC 799468131 
4. «𝘶-substitution (article)». Khan Academy (em inglês). Consultado em 13 de outubro de 2020 
5. Weisstein, Eric W. «Definite Integral». mathworld.wolfram.com (em inglês). Consultado em 13 de outubro de 2020 

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