Lema fundamental de teoria dos crivos

Em teoria dos números, especificamente em teoria dos crivos, o lema fundamental de teoria de crivos é um de vários resultados que sistematizam o processo de aplicar métodos de crivagem a problemas particulares. Halberstam e Richert ^[1] asseguram:

Un fato curioso npublicaa literatura dos métodos de crivagem, é que bem se usa frequentemente o Brun, tendo poucos intentos de formular um teorema geral de Brun (tal como o teorema 2.1); como resultado, existem demasiados trabalhos surpreendentes os quais repetem-se en considerável detalhe nos passos dos argumentos de Brun.

Diamond e Halberstam^[2] atribuíram a terminologia Lema Fundamental a Jonas Kubilius.

Notação Comum

Usaremos a seguinte notação:

• A é um conjunto de X inteiros positivos, isto é |A|=X, e A_d é o subconjunto de A de inteiros divisíveis por d.
• w(d) e R_d são funções de A e de d que estimam o número de elementos de A que são divisíveis por d, de acordo com a fórmula

${\displaystyle \left\vert A_{d}\right\vert ={\frac {w(d)}{d}}X+R_{d}.}$

Logo w(d) / d representa uma densidade aproximada de membros divisíveis por d, e R_d representa um erro ou término de resíduo.

• P é um conjunto de primos, e P(z) é o produto dos elementos deste que são menores ou iguais a z
• S(A, P, z) é o número de elementos de A que não são divisíveis por qualquer primo em P isto é ≤ z
• κ é uma constante, chamada densidade discriminadora,^[3] que aparece nas hipóteses anteriores . Esta medida de peso é uma média ponderada do número de classes residuais afastadas por cada primo.

Lema fundamental do crivo combinatório

Esta formulação é de Tenenbaum.^[4] Outras formulações em Halberstam e Richert,^[1] en Greaves,^[3] e en Friedlander e Iwaniec.^[5] Consideremos as seguinte hipóteses :

• w(d) é una função multiplicativa.
• a densidade discriminadora κ satisface, para alguma constante C e qualquer par de números reais η e ξ com 2 ≤ η ≤ ξ:

${\displaystyle \prod _{\eta \leq p\leq \xi }\left(1-{\frac {w(p)}{p}}\right)^{-1}<\left({\frac {\ln \xi }{\ln \eta }}\right)^{\kappa }\left(1+{\frac {C}{\ln \eta }}\right).}$

Existe um parâmetro u ≥ 1 isto é, a nossa disposição. Temos uniformente em A, X, z, e u que

${\displaystyle S(a,P,z)=X\prod _{p\leq z,p\in P}\left(1-{\frac {w(p)}{p}}\right)\{1+O(u^{-u/2})\}+O\left(\sum _{d\leq z^{u},d|P(z)}|R_{d}|\right).}$

Para certas aplicações fixamos u de maneira que obtemos o melhor término de erro possível. No crivo isto representa o número de níveis no princípio de inclusão-exclusão.

Lema fundamental para o crivo de Selberg

Esta formulação viene de Halberstam e Richert.^[1] outra formulação encontra-se em Diamond e Halberstam.^[2]

Considere as hipóteses :

• w(d) é una função multiplicativa.
• a densidade discriminadora κ satisfaz, para alguma constante C e para qualquer par de números reais η e ξ con 2 ≤ η ≤ ξ:

${\displaystyle \sum _{\eta \leq p\leq \xi }{\frac {w(p)\ln p}{p}}<\kappa \ln {\frac {\xi }{\eta }}+C.}$

• w(p) / p < 1 - c para algum número pequeno fixo c e todo p
• | R_d | ≤ ω(d) onde ω(d) é o número de distintos divisores primos de d.

O lema fundamental tem ao menos a mesma forma que a do crivo combinatório. Tomando u = ln X / ln z. a conclusão é:

${\displaystyle S(a,P,z)=X\prod _{p\leq z,p\in P}\left(1-{\frac {w(p)}{p}}\right)\{1+O(e^{-u/2})\}.}$

Note que u não é um parâmetro pequeno a nossa disposição, mas é controlada pela variável z, a qual encontra-se a nossa disposição.

Note que o término de erro é mais débil que o término existente no lema fundamental do crivo combinatório. Halberstam e Richert asseguram:^[1] "Logo não é certo dizer, como se tem assegurado na literatura (matemática) pelos tempos dos tempos, que o crivo de Selberg é sempre melhor que o de Brun."

Referências

1. Halberstam, Heini; H. -E. Richert (1974). Sieve Methods. London: Academic Press. ISBN 0123182506 
2. Diamond, Harold G.; Halberstam, Heini (2008). A Higher-Dimensional Sieve Method: with Procedures for Computing Sieve Functions. Col: Cambridge Tracts in Mathematics. 177. With William F. Galway. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9780521894876 
3. Greaves, George (2001). Sieves in Number Theory. Berlin: Springer. ISBN 3540416471 
4. Tenenbaum, Gérald (1995). Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0521412617 
5. Friedlander, John; Henryk Iwaniec (1978). «On Bombieri's asymptotic sieve». Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa; Classe di Scienze 4^e série. pp. 719–756. Consultado em 14 de fevereiro de 2009 

Ver também

• Teoria dos crivos

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