Lema do determinante de matriz

Na matemática, em particular na álgebra linear, o lema do determinante de matriz calcula o determinante da soma de uma matriz invertível A e o produto diádico, u v^T, de um vetor [en] de coluna u e um vetor linha v^T.^[1][2]

Afirmação

Suponha que A seja uma matriz quadrada invertível e u, v sejam vetores de coluna. Então o lema do determinante de matriz afirma que

${\displaystyle \det \left(\mathbf {A} +\mathbf {uv} ^{\textsf {T}}\right)=\left(1+\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {u} \right)\,\det \left(\mathbf {A} \right)\,.}$

Aqui, uv^T é o produto externo{{Ill|en||Outer product|nlk=true}{ de dois vetores u e v.

O teorema também pode ser expresso em termos da matriz adjugada de A:

${\displaystyle \det \left(\mathbf {A} +\mathbf {uv} ^{\textsf {T}}\right)=\det \left(\mathbf {A} \right)+\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\mathrm {adj} \left(\mathbf {A} \right)\mathbf {u} \,,}$

caso em que se aplica se a matriz quadrada A é ou não invertível.

Prova

Primeiro a prova do caso especial A = I segue da igualdade:^[3]

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathbf {I} &0\\\mathbf {v} ^{\textsf {T}}&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf {I} +\mathbf {uv} ^{\textsf {T}}&\mathbf {u} \\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf {I} &0\\-\mathbf {v} ^{\textsf {T}}&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathbf {I} &\mathbf {u} \\0&1+\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\mathbf {u} \end{pmatrix}}.}$

O determinante do lado esquerdo é o produto dos determinantes das três matrizes. Como a primeira e a terceira matrizes são triangulares com diagonal unitária, seus determinantes são apenas 1. O determinante da matriz do meio é o nosso valor desejado. O determinante do lado direito é simplesmente (1 + v^Tu). Então temos o resultado:

${\displaystyle \det \left(\mathbf {I} +\mathbf {uv} ^{\textsf {T}}\right)=\left(1+\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\mathbf {u} \right).}$

Então o caso geral pode ser encontrado como:

${\displaystyle {\begin{aligned}\det \left(\mathbf {A} +\mathbf {uv} ^{\textsf {T}}\right)&=\det \left(\mathbf {A} \right)\det \left(\mathbf {I} +\left(\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {u} \right)\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\right)\\&=\det \left(\mathbf {A} \right)\left(1+\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\left(\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {u} \right)\right).\end{aligned}}}$

Aplicação

Se o determinante e o inverso de A já forem conhecidos, a fórmula fornece uma maneira numericamente barata [en] de calcular o determinante de A corrigido pela matriz uv^T. O cálculo é relativamente barato porque o determinante de A + uv^T não precisa ser calculado do zero (o que em geral é caro). Usando vetores unitários para u e/ou v, colunas individuais, linhas ou elementos^[4] de A podem ser manipulados e um determinante atualizado correspondente calculado de forma relativamente barata dessa maneira.

Quando o lema do determinante da matriz é usado em conjunto com a fórmula de Sherman – Morrison [en], tanto o inverso quanto o determinante podem ser convenientemente atualizados juntos.

Generalização

Suponha que A seja uma matriz n por n invertível e U, V sejam matrizes n por m. Então

${\displaystyle \det \left(\mathbf {A} +\mathbf {UV} ^{\textsf {T}}\right)=\det \left(\mathbf {I_{m}} +\mathbf {V} ^{\textsf {T}}\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {U} \right)\det(\mathbf {A} ).}$

No caso especial ${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {I_{n}} }$ esta é a identidade de Weinstein – Aronszajn [en].

Dada adicionalmente uma matriz invertível m por m W, a relação também pode ser expressa como

${\displaystyle \det \left(\mathbf {A} +\mathbf {UWV} ^{\textsf {T}}\right)=\det \left(\mathbf {W} ^{-1}+\mathbf {V} ^{\textsf {T}}\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {U} \right)\det \left(\mathbf {W} \right)\det \left(\mathbf {A} \right).}$

Ver também

• A fórmula de Sherman – Morrison [en], que mostra como atualizar o inverso, A⁻¹, para obter (A + uv^T)⁻¹.
• A fórmula de Woodbury [en], que mostra como atualizar o inverso, A⁻¹, para obter (A + UCV^T)⁻¹.
• O teorema inverso binomial [en] para (A + UCV^T)⁻¹.

Referências

1. Harville, D. A. (1997). Matrix algebra from a statistician's perspective (em inglês). Nova Iorque: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94978-X 
2. Brookes, M. (2005). «The matrix reference manual (online)» (em inglês) 
3. Ding, J., Zhou, A. (2007). «Eigenvalues of rank-one updated matrices with some applications». Applied mathematics letters (em inglês). 20 (12): 1223 – 1226. ISSN 0893-9659. doi:10.1016/j.aml.2006.11.016  !CS1 manut: Usa parâmetro autores (link)
4. William H. Press, Brian P. Flannery, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling (1992). Numerical recipes in C: The art of scientific computing [en] (em inglês). [S.l.]: Cambridge university press. pp. 73. ISBN 0-521-43108-5  !CS1 manut: Usa parâmetro autores (link)