O Lema de Jordan em conjunto com o teorema dos resíduos , é utilizado para calcular integrais no plano complexo . É denominado em memória de Camille Jordan .
Definições
Definição 1
Sejam C R uma semicircunferência de raio R no semiplano superior e centrada na origem e f(z) uma função que, para arg(z)∈[o,π], converge uniformemente a zero mais rápido que
1
|
z
|
{\displaystyle {\frac {1}{|z|}}}
quando |z|→
∞ ∞ -->
{\displaystyle \infty }
, ou seja,
C
R
=
{
z
:
z
=
R
e
i
θ θ -->
,
θ θ -->
∈ ∈ -->
[
0
,
π π -->
]
}
{\displaystyle C_{R}=\{z:z=Re^{i\theta },\theta \in [0,\pi ]\}}
[ 1]
O caminho C é a concatenação dos caminhos C 1 e C 2 .
Definição 2
Consideremos a integral :
I
R
=
∫ ∫ -->
R
f
(
z
)
d
z
{\displaystyle I_{R}=\int _{R}f(z)\ dz}
, com ΓR = {Z=Reiθ , 0≤θ≤π} e α>0 e se a função f é da forma :
f
(
z
)
=
e
i
a
z
g
(
z
)
,
z
∈ ∈ -->
C
R
,
{\displaystyle f(z)=e^{iaz}g(z)\,,\quad z\in C_{R},}
Suponhamos que f(z) seja analítica neste semi-plano exceto em um número finito de pontos e que o valor máximo de módulo de f(Z) para z∈ΓR tende a zero quando R tende ao infinito então:
lim
R
→ → -->
∞ ∞ -->
I
R
=
0
{\displaystyle \lim _{R\to \infty }I_{R}=0}
Aplicações
Dentre outras aplicações o Lema de Jordam é fundamental para os seguintes cálculos: integrais reais via variáveis complexas , Transformada de Laplace Inversa , Transformada de Fourier Inversa , dentre outros.
Nestes cálculos, boa parte da dificuldade está em escolher um contorno de integração e uma função
g
(
z
)
{\displaystyle g(z)}
convenientes.
Demonstração
Por definição:
∫ ∫ -->
C
R
f
(
z
)
d
z
=
∫ ∫ -->
0
π π -->
g
(
R
e
i
θ θ -->
)
e
i
a
R
(
cos
-->
θ θ -->
+
i
sin
-->
θ θ -->
)
i
R
e
i
θ θ -->
d
θ θ -->
=
R
∫ ∫ -->
0
π π -->
g
(
R
e
i
θ θ -->
)
e
a
R
(
i
cos
-->
θ θ -->
− − -->
sin
-->
θ θ -->
)
i
e
i
θ θ -->
d
θ θ -->
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{C_{R}}f(z)\,dz&=\int _{0}^{\pi }g(Re^{i\theta })\,e^{iaR(\cos \theta +i\sin \theta )}\,iRe^{i\theta }\,d\theta \\&=R\int _{0}^{\pi }g(Re^{i\theta })\,e^{aR(i\cos \theta -\sin \theta )}\,ie^{i\theta }\,d\theta \,.\end{aligned}}}
|
∫ ∫ -->
a
b
f
(
x
)
d
x
|
≤ ≤ -->
∫ ∫ -->
a
b
|
f
(
x
)
|
d
x
{\displaystyle {\biggl |}\int _{a}^{b}f(x)\,dx{\biggr |}\leq \int _{a}^{b}|f(x)|\,dx}
I
R
:=
|
∫ ∫ -->
C
R
f
(
z
)
d
z
|
≤ ≤ -->
R
∫ ∫ -->
0
π π -->
|
g
(
R
e
i
θ θ -->
)
e
a
R
(
i
cos
-->
θ θ -->
− − -->
sin
-->
θ θ -->
)
i
e
i
θ θ -->
|
d
θ θ -->
=
R
∫ ∫ -->
0
π π -->
|
g
(
R
e
i
θ θ -->
)
|
e
− − -->
a
R
sin
-->
θ θ -->
d
θ θ -->
.
{\displaystyle {\begin{aligned}I_{R}:={\biggl |}\int _{C_{R}}f(z)\,dz{\biggr |}&\leq R\int _{0}^{\pi }{\bigl |}g(Re^{i\theta })\,e^{aR(i\cos \theta -\sin \theta )}\,ie^{i\theta }{\bigr |}\,d\theta \\&=R\int _{0}^{\pi }{\bigl |}g(Re^{i\theta }){\bigr |}\,e^{-aR\sin \theta }\,d\theta \,.\end{aligned}}}
Utilizando
M
R
:=
max
θ θ -->
∈ ∈ -->
[
0
,
π π -->
]
|
g
(
R
e
i
θ θ -->
)
|
{\displaystyle M_{R}:=\max _{\theta \in [0,\pi ]}{\bigl |}g{\bigl (}Re^{i\theta }{\bigr )}{\bigr |}}
e a simetria sin θ = sin(π – θ ) , temos:
I
R
≤ ≤ -->
R
M
R
∫ ∫ -->
0
π π -->
e
− − -->
a
R
sin
-->
θ θ -->
d
θ θ -->
=
2
R
M
R
∫ ∫ -->
0
π π -->
/
2
e
− − -->
a
R
sin
-->
θ θ -->
d
θ θ -->
.
{\displaystyle I_{R}\leq RM_{R}\int _{0}^{\pi }e^{-aR\sin \theta }\,d\theta =2RM_{R}\int _{0}^{\pi /2}e^{-aR\sin \theta }\,d\theta \,.}
De fato o sin θ é concavo neste intervalo θ ∈ [0,π /2] , logo, o gráfico sin θ estará acima da linha
2
θ θ -->
π π -->
{\displaystyle {\frac {2\theta }{\pi }}}
, consequentemente
sin
-->
θ θ -->
≥ ≥ -->
2
θ θ -->
π π -->
{\displaystyle \sin \theta \geq {\frac {2\theta }{\pi }}\quad }
portanto, como
M
R
:=
max
θ θ -->
∈ ∈ -->
[
0
,
π π -->
]
|
g
(
R
e
i
θ θ -->
)
|
→ → -->
0
quando
R
→ → -->
∞ ∞ -->
{\displaystyle M_{R}:=\max _{\theta \in [0,\pi ]}{\bigl |}g{\bigl (}Re^{i\theta }{\bigr )}{\bigr |}\to 0\quad {\mbox{quando }}R\to \infty \,}
, temos:
I
R
≤ ≤ -->
2
R
M
R
∫ ∫ -->
0
π π -->
/
2
e
− − -->
2
a
R
θ θ -->
/
π π -->
d
θ θ -->
=
π π -->
a
(
1
− − -->
e
− − -->
a
R
)
M
R
≤ ≤ -->
π π -->
a
M
R
.
{\displaystyle I_{R}\leq 2RM_{R}\int _{0}^{\pi /2}e^{-2aR\theta /\pi }\,d\theta ={\frac {\pi }{a}}(1-e^{-aR})M_{R}\leq {\frac {\pi }{a}}M_{R}\,.}
Exemplo
Calcule a seguinte integral:
∫ ∫ -->
− − -->
∞ ∞ -->
∞ ∞ -->
1
1
+
x
2
d
x
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{1+x^{2}}}dx}
Resolução
Seja a função:
f
(
z
)
=
1
1
+
z
2
{\displaystyle f(z)={\frac {1}{1+z^{2}}}}
Nesta ache as singularidades (igualando a zero o denominador)
z
∈ ∈ -->
C
∖ ∖ -->
{
i
,
− − -->
i
}
{\displaystyle \qquad z\in {\mathbb {C} }\setminus \{i,-i\}}
Desenhando a curva, nota-se que a singularidade de f no plano se encontra apenas na metade superior, em z = i , assim...
∫ ∫ -->
− − -->
∞ ∞ -->
∞ ∞ -->
1
1
+
x
2
d
x
=
∫ ∫ -->
− − -->
R
R
1
1
+
x
2
d
x
+
∫ ∫ -->
Γ Γ -->
R
1
1
+
z
2
d
z
=
2
π π -->
i
Res
-->
(
f
,
i
)
.
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx=\int _{-R}^{R}{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx+\int _{\Gamma _{R}}{\frac {1}{1+z^{2}}}\,dz=2\pi i\,\operatorname {Res} (f,i)\,.}
E, por f ser de polo simples
2
π π -->
i
Res
-->
(
f
,
i
)
=
2
π π -->
i
lim
z
→ → -->
i
(
z
− − -->
i
)
f
(
z
)
=
2
π π -->
i
lim
z
→ → -->
i
1
z
+
i
=
2
π π -->
i
1
2
i
=
π π -->
{\displaystyle 2\pi i\operatorname {Res} (f,i)=2\pi i\lim _{z\to i}(z-i)f(z)=2\pi i\lim _{z\to i}{\frac {1}{z+i}}=2\pi i{\frac {1}{2i}}=\pi }
Assim,
∫ ∫ -->
− − -->
R
R
1
1
+
x
2
d
x
+
∫ ∫ -->
Γ Γ -->
R
1
1
+
z
2
d
z
=
π π -->
{\displaystyle \int _{-R}^{R}{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx+\int _{\Gamma _{R}}{\frac {1}{1+z^{2}}}\,dz=\pi }
Utilizando o lema de jordan, quando R →
∞ ∞ -->
{\displaystyle \infty }
, temos
lim
R
→ → -->
∞ ∞ -->
|
1
1
+
z
2
|
=
0
{\displaystyle \lim _{R\to \infty }\left|{\frac {1}{1+z^{2}}}\right|=0}
,pela substituição z = R eiθ (lembrando que eiθ = cos(θ) + i sen(θ) é uma função limitada, entre 1 e -1)
Contudo, quando R →
∞ ∞ -->
{\displaystyle \infty }
:
∫ ∫ -->
− − -->
∞ ∞ -->
∞ ∞ -->
1
1
+
x
2
d
x
+
0
=
∫ ∫ -->
− − -->
∞ ∞ -->
∞ ∞ -->
1
1
+
x
2
d
x
=
π π -->
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx+0=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx=\pi }
Notas e Referências
E. Capela de Oliveira; A. Rodrigues Jr. (1999). Introdução às Variáveis Complexas e Aplicações . Campinas - SP: Imecc: [s.n.] p. 284p. ISBN 85-87185-02-0
Brown, James W.; Churchill, Ruel V. (2004). Variáveis Complexas e Aplicações 7ª ed. New York: McGraw Hill. p. 262–265. ISBN 0-07-287252-7
[Categoria:Teoremas em análise complexa]]