Identidade de Bézout

Étienne Bézout (século XVIII)

Em matemática, particularmente em teoria dos números, a identidade de Bézout, também chamada lema de Bézout, teorema de Bézout ou ainda teorema de Bachet-Bézout, consiste da seguinte afirmação sobre inteiros:

Dados inteiros a e b, não ambos nulos, existem inteiros m e n tais que am + bn = mdc(a, b).

Como consequência imediata da identidade de Bézout, temos que se c é um inteiro que divide a e b, então c também divide mdc(a, b). Ora, se m, n são inteiros tais que am + bn = mdc(a, b) e q₁, q₂ inteiros tais que a = q₁c e b = q₂c, então (q₁m + q₂n)c = mdc(a, b), ou seja, c divide mdc(a, b). Um outro corolário da identidade de Bézout afirma que a equação diofantina linear ax + by = c tem solução se mdc(a, b) divide c. Realmente, tem-se pela identidade de Bézout que existem inteiros m, n tais que am + bn = mdc(a, b) e, assim, desde que c = q mdc(a, b), q(am + bn) = a(qm) + b(qn) = q mdc(a, b) = c, isto é, (qm, qn) é solução da equação diofantina linear.

O matemático francês Étienne Bézout (1730 – 1783), cujo nome do lema está associado, provou o análogo do resultado para polinômios. Foi Claude Gaspard Bachet de Méziriac (1581 – 1638), outro matemático francês, quem provou a identidade para números inteiros.

Demonstração

Dados inteiros a, b, com b ≠ 0, considere o conjunto I(a, b) = {ax + by : x, y ∈ Z}. É claro que existe em I(a, b) um inteiro positivo. De fato, |b| ∈ I(a, b). Seja d = ax₀ + by₀ o menor inteiro positivo em I(a, b).

Afirmação. d divide todo inteiro n ∈ I(a, b).

Dado n = ax₁ + by₁ ∈ I(a, b), sejam q, r ∈ Z tais que n = qd + r com 0 ≤ r < d. Temos então n - qd = a(x₁ - qx₀) + b(y₁ - qy₀) = r ∈ I(a, b), de modo que, como d é o menor inteiro positivo em I(a, b), obrigatoriamente r = 0.

Agora, como a, b ∈ I(a, b) (basta escolher (x, y) = (1, 0) e (x, y) = (0, 1), respectivamente), temos que d divide a e b. Logo, d ≤ mdc(a, b).

Por outro lado, mdc(a, b) divide a e b, de modo que mdc(a, b) divide d. Portanto, mdc(a, b) ≤ d e, consequentemente, mdc(a, b) = d.

Ver também

• Domínio de Bézout
• Lema de Euclides
• Máximo divisor comum
• Teorema AF + BG
• Teorema chinês do resto

Referências

• Bachet, Claude Gaspard (1624). Problèmes plaisants & délectables qui se font par les nombres (em francês) 2 ed. Lyons: Pierre Rigaud & Associates. pp. 18–33 
• Bézout, E (1779). Théorie générale des équations algébriques (em francês). Paris: Ph.-D. Pierres 
• Bullynck, Maarten. «Modular Arithmetic before C.F. Gauss. Systematisations and discussions on remainder problems in 18th century Germany» (PDF). Alemanha. Historia Mathematica (em inglês). 36. doi:10.1016/j.hm.2008.08.009 

Ligações externas

• "Bézout's Identity" in MathWorld (em inglês)
• "Bézout's Lemma" in ProofWiki (em inglês)
• Online calculator of Bézout's identity (em inglês)

• Portal da matemática