Hipótese de Lindelöf

A Hipótese de Lindelöf é uma conjectura feita pelo matemático finlandês Ernst Leonard Lindelöf (Lindelöf (1908)) sobre a taxa de crescimento da função zeta de Riemann na linha crítica implícita na hipótese de Riemann.

Para qualquer ε > 0, 

${\displaystyle \zeta \left({\frac {1}{2}}+it\right)=O(t^{\varepsilon }),}$

à medida que t tende para o infinito (Notação Big O). Já que ε pode ser substituído por um valor menor, podemos escrever a conjectura da seguinte forma: para qualquer positivo ε,

${\displaystyle \zeta \left({\frac {1}{2}}+it\right)=o(t^{\varepsilon }).}$

A função μ

Se σ é real, então µ(σ) é definido como sendo o ínfimo de todos os números reais 'a' , tais que ζ(σ + iT) = S(T ^a). Podemos ver que µ(σ) = 0 para s > 1, e a equação funcional da função zeta implica que µ(σ) = μ(1 − σ) − σ + 1/2. O Princípio de Phragmen–Lindelöf implica que µ é uma função convexa. Os estados μ(1/2) = 0, juntamente com as propriedades de μ implicam que µ(σ) é de 0 para σ ≥ 1/2 e 1/2 − σ para σ ≤ 1/2.

O resultado de convexidade de Lindelöf implica junto com μ(1) = 0 e µ(0) = 1/2 em 0 ≤ μ(1/2) ≤ 1/4. O limite superior foi reduzido de 1/4 a 1/6 por Hardy e Littlewood  com a aplicação do método de estimativa de somas exponenciais de Weyl para a equação funcional aproximada. Desde então, o limite foi reduzido para pouco menos de 1/6 por diversos outros autores, utilizando longas provas técnicas, como a seguir:

μ(1/2) ≤	μ(1/2) ≤	Autor
1/4	0.25	Lindelöf (1908)
1/6	0.1667	Hardy & Littlewood (?)
163/988	0.1650	Walfisz (1924)
27/164	0.1647	Titchmarsh (1932)
229/1392	0.164512	Phillips (1933)
	0.164511	Rankin (1955)
19/116	0.1638	Titchmarsh (1942)
15/92	0.1631	Min (1949)
6/37	0.16217	Haneke (1962)
173/1067	0.16214	Kolesnik (1973)
35/216	0.16204	Kolesnik (1982)
139/858	0.16201	Kolesnik (1985)
32/205	0.1561	Huxley (2002, 2005)
53/342	0.1550	Bourgain (2014)
13/84	0.1548	Bourgain (2016)

Relação com a hipótese de Riemann

Backlund (1918–1919) , mostrou que a Hipótese de Lindelöf equivale a declaração sobre os zeros da função zeta: para cada ε > 0, o número de zeros com parte real de pelo menos 1/2 + ε e a parte imaginária entre T e T + 1 é O(log(T)) T tende para o infinito. A hipótese de Riemann implica que não existem zeros em todos nessa região, e isso implica na Hipótese de Lindelöf. O número de zeros com parte imaginária entre T e T + 1 é conhecido por ser O(log(T)), de modo que a Hipótese de Lindelöf fica parecendo ser apenas um pouco mais forte do que o provado, mas, apesar disso, ele tem resistido a todas as tentativas para provar isso.

Meios de poderes (ou momentos) da função zeta

A Hipótese de Lindelöf equivale a:

${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}|\zeta (1/2+it)|^{2k}\,dt=O(T^{\varepsilon })}$

Para todos os números inteiros positivos k e todos os números reais positivos ε. Isto tem sido provado para k = 1 ou 2, mas o caso k = 3, parece muito mais difícil e é ainda um problema em aberto.

Acredita-se que exista uma conjectura mais precisa sobre o comportamento assintótico da integral a seguir, para algumas constantes ck,j.

${\displaystyle \int _{0}^{T}|\zeta (1/2+it)|^{2k}\,dt=T\sum _{j=0}^{k^{2}}c_{k,j}\log(T)^{k^{2}-j}+o(T)}$

Provado para k = 1 e k = 2 por Littlewood e Heath-Brown (1979) respectivamente (a partir de um resultado de  Ingham (1926), que encontrou um termo líder).

Conrey & Ghosh (1998) sugeriu que o valor ${\displaystyle (42/9!)\prod _{p}\left((1-p^{-1})^{4}(1+4p^{-1}+p^{-2})\right)}$ para o coeficiente principal, quando k é 6, e Keating & Snaith (2000) usado matriz aleatória para sugerir algumas conjecturas para os valores dos coeficientes maiores que k. Os coeficientes principais foram conjecturados para serem o produto de um fator elemental, um determinado produto sobre os números primos e o número de n por n Diagrama de Young dada pela sequência:

• 1, 1, 2, 42, 24024, 701149020, (sequência A039622 na OEIS).

Outras consequências

O n-ésimo número primo  é denotando por p_n, e Albert Ingham mostrou um resultado, que mostra a Hipótese de Lindelöf  implica para qualquer ε > 0,

${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}\ll p_{n}^{1/2+\varepsilon }\,}$

se n é suficientemente grande. Porém, esse resultado é muito pior do que a conjectura primeiro-gap.

Referências

• Backlund, R. (1918–1919), «Über die Beziehung zwischen Anwachsen und Nullstellen der Zeta-Funktion», Ofversigt Finska Vetensk. Soc., 61 (9) 
• Bourgain, Jean (2014), Decoupling, exponential sums and the Riemann zeta function, arXiv:1408.5794v1 
• Bourgain, Jean (2016), «Decoupling, exponential sums and the Riemann zeta function», Journal of the American Mathematical Society, arXiv:1408.5794v2, doi:10.1090/jams/860 
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• Conrey, J. B.; Farmer, D. W.; Keating, Jonathan P.; Rubinstein, M. O.; Snaith, N. C. (2008), «Lower order terms in the full moment conjecture for the Riemann zeta function», Journal of Number Theory, ISSN 0022-314X, 128 (6): 1516–1554, MR 2419176, doi:10.1016/j.jnt.2007.05.013 
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• Edwards, H. M. (1974), Riemann's Zeta Function, ISBN 978-0-486-41740-0, New York: Dover Publications, MR 0466039 
• Heath-Brown, D. R. (1979), «The fourth power moment of the Riemann zeta function», Proceedings of the London Mathematical Society. Third Series, ISSN 0024-6115, 38 (3): 385–422, MR 532980, doi:10.1112/plms/s3-38.3.385 
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• Huxley, M. N. (2005), «Exponential sums and the Riemann zeta function. V», Proceedings of the London Mathematical Society. Third Series, ISSN 0024-6115, 90 (1): 1–41, MR 2107036, doi:10.1112/S0024611504014959 
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