Grupo de permutação primitivo

Em matemática, um grupo de permutação G que atua em um conjunto finito não vazio X é chamado de primitivo se G atuar transitivamente em X e as únicas partições que a ação de G preserva são as partições triviais em um único conjunto ou em conjuntos de um único |X|. Caso contrário, se G for transitivo e preservar uma partição não trivial, G será chamada de imprimitivo.

Embora os grupos de permutação primitivos sejam transitivos, nem todos os grupos de permutação transitivos são primitivos. O exemplo mais simples é o grupo de Klein agindo nos vértices de um quadrado, que preserva a partição em diagonais. Por outro lado, se um grupo de permutação preserva apenas partições triviais, ele é transitivo, exceto no caso do grupo trivial que atua em um conjunto de dois elementos. Isso ocorre porque, para uma ação não transitiva, ou as órbitas de G formam uma partição não trivial preservada por G ou a ação do grupo é trivial e, nesse caso, todas as partições não triviais de X (que existe para |X| ≥ 3) são preservadas por G.

Essa terminologia foi introduzida por Évariste Galois em sua última carta, na qual ele usou o termo francês équation primitive para uma equação cujo grupo de Galois é primitivo.^[1]

Propriedades

Na mesma carta em que introduziu o termo “primitivo”, Galois apresentou o seguinte teorema:^[2]

Se G for um grupo primitivo solucionável atuando em um conjunto finito X, então a ordem de X é uma potência de um número primo p. Além disso, X pode ser identificado com um espaço afim sobre o campo finito com p elementos, e G atua em X como um subgrupo do grupo afim.

Se o conjunto X no qual G atua for finito, sua cardinalidade será chamada de grau de G.

Um corolário desse resultado de Galois é que, se p for um número primo ímpar, então a ordem de um grupo transitivo solucionável de grau p é um divisor de ${\displaystyle p(p-1).}$ De fato, todo grupo transitivo de grau primo é primitivo (já que o número de elementos de uma partição fixado por G deve ser um divisor de p) e ${\displaystyle p(p-1)}$ é a cardinalidade do grupo afim de um espaço afim com elementos p.

Segue-se que, se p for um número primo maior que 3, o grupo simétrico e o grupo alternante de grau p não são solucionáveis, pois sua ordem é maior que ${\displaystyle p(p-1).}$ O teorema de Abel-Ruffini resulta disso e do fato de que há polinômios com um grupo Galois simétrico.

Uma definição equivalente de primitividade se baseia no fato de que toda ação transitiva de um grupo G é isomórfica a uma ação decorrente da ação canônica de G no conjunto G/H de coclasses para H, um subgrupo de G. Uma ação de grupo é primitiva se for isomórfica a G/H para um subgrupo máximo H de G e imprimitiva caso contrário (ou seja, se houver um subgrupo próprio K de G do qual H seja um subgrupo próprio). Essas ações imprimitivas são exemplos de representações induzidas.

Os números de grupos primitivos de pequeno grau foram declarados por Robert Carmichael em 1937:

Grau	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24
Número	1	2	2	5	4	7	7	11	9	8	6	9	4	6	22	10	4	8	4	9	4	7	5	(sequência A000019 na OEIS)

Há um grande número de grupos primitivos de grau 16. Como Carmichael observa, todos esses grupos, exceto o grupo simétrico e alternado, são subgrupos do grupo afim no espaço de 4 dimensões sobre o campo finito de 2 elementos.

Exemplos

• Considerando o grupo simétrico ${\displaystyle S_{3}}$ agindo no conjunto ${\displaystyle X=\{1,2,3\}}$ e a permutação

${\displaystyle \eta ={\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}}.}$

Ambos ${\displaystyle S_{3}}$ e o grupo gerado pelo ${\displaystyle \eta }$ são primitivos.

• Agora considere o grupo simétrico ${\displaystyle S_{4}}$ agindo no conjunto ${\displaystyle \{1,2,3,4\}}$ e a permutação

${\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&3&4&1\end{pmatrix}}.}$

O grupo gerado por ${\displaystyle \sigma }$, pois a partição ${\displaystyle (X_{1},X_{2})}$ onde ${\displaystyle X_{1}=\{1,3\}}$ e ${\displaystyle X_{2}=\{2,4\}}$ é preservado sob ${\displaystyle \sigma }$, isto é, ${\displaystyle \sigma (X_{1})=X_{2}}$ e ${\displaystyle \sigma (X_{2})=X_{1}}$.

• Todo grupo transitivo de grau primo é primitivo
• O grupo simétrico ${\displaystyle S_{n}}$ agindo no conjunto ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$ é primitivo para cada n e o grupo altenante ${\displaystyle A_{n}}$ agindo no set ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$ é primitivo para todo  n > 2.

Referências

1. «La lettre testament | Bicentenaire Galois» (em francês). Consultado em 1 de junho de 2024 
2. Galois usou uma terminologia diferente, porque a maior parte da terminologia nesta declaração foi introduzida posteriormente, em parte para esclarecer os conceitos introduzidos por Galois.

• Roney-Dougal, Colva M. The primitive permutation groups of degree less than 2500, Journal of Algebra 292 (2005), no. 1, 154–183.
• The GAP Data Library "Primitive Permutation Groups".
• Carmichael, Robert D., Introduction to the Theory of Groups of Finite Order. Ginn, Boston, 1937. Reprinted by Dover Publications, New York, 1956.
• Todd Rowland. «Primitive Group Action». MathWorld (em inglês)