Fórmula de Bethe

Partículas rápidas carregadas movendo-se através da matéria interagem com os elétrons dos átomos no material. A interação excita ou ioniza os átomos. Isso leva a uma perda de energia das partículas em movimento. A fórmula de Bethe descreve^[1] a média da perda de energia por distância percorrida das partículas carregadas (prótons, partículas alfa, íons atômicos, mas não elétrons^{[Footnote 1]}) atravessando a matéria (ou, alternativamente, o "poder de parada" do material). A versão não-relativística foi encontrada por Hans Bethe, em 1930; a versão relativística (abaixo) foi encontrada por ele em 1932.^[2] A perda de energia mais provável difere da perda de energia média, e é descrita pela distribuição de Landau-Vavilove.^[3]

A fórmula de Bethe é, eventualmente, chamada de "Bethe-Bloch fórmula", mas isso é enganoso (ver abaixo).

A fórmula

Para uma partícula com velocidade v, carga z (em múltiplos da carga do elétron), e energia E, viajando a uma distância x na direção de um alvo composto de elétrons de densidade numérica n e potencial médio de excitação I, a versão relativística da fórmula lida em unidades do SI é:^[2]

${\displaystyle -\left\langle {\frac {dE}{dx}}\right\rangle ={\frac {4\pi }{m_{e}c^{2}}}\cdot {\frac {nz^{2}}{\beta ^{2}}}\cdot \left({\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\right)^{2}\cdot \left[\ln \left({\frac {2m_{e}c^{2}\beta ^{2}}{I\cdot (1-\beta ^{2})}}\right)-\beta ^{2}\right]}$ ,       (1)

onde c é a velocidade da luz e ε₀, a permissividade do vácuo, ${\displaystyle \beta ={\frac {v}{c}}}$, e e m_e, respectivamente, a carga do elétron e a massa de repouso.

O Poder de parada de Alumínio para Prótons versus prótons de energia, e a fórmula de Bethe sem (vermelho) e com correções (azul)

Aqui, a densidade numérica de elétrons do material pode ser calculada por

${\displaystyle n={\frac {N_{A}\cdot Z\cdot \rho }{A\cdot M_{u}}}\,,}$

onde ρ é a densidade do material; Z, seu número atômico; A, sua massa atômica relativa; N_A, o número de Avogadro e M_u, a massa Molar constante.

Na figura à direita, os pequenos círculos são resultados experimentais obtidos a partir de medições de vários cientistas, enquanto que a curva vermelha é a fórmula de Bethe.^[4] Evidentemente, a teoria de Bethe concorda muito bem com experiência em alta energia. A concordância é melhor ainda quando as correções são aplicadas (ver abaixo).

Para baixas energias, por exemplo, para pequenas velocidades das partículas β << 1, a fórmula de Bethe se reduz a

${\displaystyle -{\frac {dE}{dx}}={\frac {4\pi nz^{2}}{m_{e}v^{2}}}\cdot \left({\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\right)^{2}\cdot \left[\ln \left({\frac {2m_{e}v^{2}}{I}}\right)\right].}$

(2)

Isso pode ser visto substituindo ßc por v na eq. (1) e, em seguida, negligenciando β² devido ao seu pequeno tamanho.

Portanto, em baixas energias, a perda de energia de acordo com a fórmula de Bethe diminui aproximadamente como v^-2 com o aumento da energia. Ela atinge um mínimo em, aproximadamente, E = 3Mc², onde M é a massa da partícula (para prótons, seria algo em torno de 3000 MeV). Para muitos casos relativísticos β ≈ 1, a perda de energia aumenta novamente, mas de forma logarítmica devido à componente transversal do campo elétrico.

O potencial médio de excitação

O potencial médio de excitação I dos átomos versus o número atômico Z, em eV, dividido por Z

Na teoria de Bethe, o material é completamente descrito por um único número, o potencial médio de excitação I. Em 1933, Felix Bloch mostrou que a média do potencial de ionização dos átomos é aproximadamente dada por: 

                 I = (10 eV) . Z,                (3)

onde Z é o número atômico dos átomos do material. Se esta aproximação é introduzida na fórmula (1) acima, obtém-se uma expressão que é muitas vezes chamadoa de Bethe-Bloch fórmula. Mas desde que nós temos agora tabelas com valores precisos de I como uma função de Z (ver abaixo), podemos usá-las para obter melhores resultados do que a utilização da fórmula (3).

A figura mostra valores normalizados de I, tomados a partir de uma tabela.^[5] Os picos e vales na figura levam a correspondentes vales e picos no "poder de parada". Estes são chamados de "Z₂-oscilações" ou "Z₂-estrutura" (onde Z₂ = Z significa o número atômico do alvo).

Correções para a fórmula de Bethe

A fórmula de Bethe é válida apenas para as altas energias suficientes para que a partícula atômica carregada (íon) não transporte quaisquer elétrons atômicos com ele. Em energias menores, quando o íon transporta elétrons, isto reduz a sua carga de forma eficaz, e o poder de parada é consequentemente reduzido. Mas mesmo se o átomo estiver totalmente ionizado, correções fazem-se necessárias.

Bethe encontrou a sua fórmula usando a toeria de pertubação de mecânica quântica. Por isso, o seu resultado é proporcional ao quadrado da carga z da partícula. A descrição pode ser melhorada considerando correções que correspondem às maiores potências de z. Estas são: o efeito de Barkas-Andersen (proporcional a z³, depois de Walter H. Barkas e Hans Henrik Andersen), e a correção de Bloch (proporcional a z⁴). Além disso, tem-se que levar em conta que os elétrons atômicos do material não são estacionários ("shell correction").

A introdução da correção de Bloch pode ser outra razão para o nome comumente usado "fórmula de Bethe-Bloch". Mas, logicamente, seria mais justo nomeá-la de "fórmula de Bethe-Barkas-Andersen-Bloch", mas ninguém o faz.

As correções mencionadas foram construídas para os programas PSTAR e ASTAR, por exemplo, através do qual pode-se calcular o "poder de parada" para prótons e partículas alfa.^[6] As correções são grandes em baixas energias e se tornam cada vez menores conforme a energia aumenta.

A energias muito altas, a correção da densidade de Fermi^[5] tem que ser também adicionada.

O problema de nomenclatura

Na descrição de programas PSTAR e ASTAR, o National Institute of Standards and Technology^[6] chama a fórmula (1) de "Bethe's stopping power fórmula".

Por outro lado, em 2008, na  Review of Particle Physics,^[7] a fórmula foi chamada de "Bethe-Bloch equation", apesar da expressão de Bloch (3) sequer aparecer na fórmula. Mas em edições mais recentes, a fórmula foi denominada simplesmente de "fórmula de Bethe".^[8][9] Presumivelmente, o "Bloch" em "Bethe-Bloch" significava a "correção de Bloch" (mencionada acima). Em todo caso, a designação "Bethe-Barkas-Bloch" parecia mais lógica.

Veja também

• Hans Bethe

Notas

1. Para elétrons, a perda de energia é suavemente distinta devido a sua pequena massa e a sua indistinguibilidade (indistinguishability), e assim eles sofrem perdas maiores por Bremsstrahlung

Referências

1. H. Bethe und J. Ashkin in "Experimental Nuclear Physics, ed.
2. Sigmund, Peter Particle Penetration and Radiation Effects.
3. H. Bichsel, Rev.
4. «Stopping Power for Light and Heavier Ions». 15 de abril de 2015. Consultado em 1 de novembro de 2015 
5. Report 49 of the International Commission on Radiation Units and Measurements, "Stopping Powers and Ranges for Protons and Alpha Particles", Bethesda, MD, USA (1993)
6. NISTIR 4999, Stopping Power and Range Tables
7. 2008 Review of Particle Physics, C. Amsler et al., Physics Letters B 667 (2008) 1
8. K. Nakamura et al.
9. J. Beringer et al.