Função meromorfa

Em análise complexa, uma função complexa ${\displaystyle f(z)}$ é dita meromorfa em uma região ${\displaystyle \Omega }$ se for analítica (isto é, holomorfa) nessa região, à exceção de polos isolados.^[1]

De forma mais precisa, se ${\displaystyle \Omega }$ for um aberto conexo não vazio de ${\displaystyle \mathbb {C} }$, diz-se que uma função ${\displaystyle f}$ definida num subconjunto de ${\displaystyle \Omega }$ com valores em ${\displaystyle \mathbb {C} }$ é meromorfa se:

• o domínio de ${\displaystyle f}$ é da forma ${\displaystyle \Omega }$ \ ${\displaystyle D}$, onde ${\displaystyle D}$ é uma parte fechada e discreta de ${\displaystyle \Omega }$;
• ${\displaystyle f}$ é holomorfa;
• ${\displaystyle f}$ tem um polo em cada ${\displaystyle z_{0}}$ ∈ ${\displaystyle D}$.

Exemplos

• Qualquer função holomorfa é meromorfa.
• A função ${\displaystyle f}$ de ${\displaystyle \mathbb {C} \backslash \{0\}}$ em ${\displaystyle \mathbb {C} }$ definida por ${\displaystyle f(z)=1/z}$ é uma função meromorfa de ${\displaystyle \mathbb {C} }$ em ${\displaystyle \mathbb {C} }$.
• A função ${\displaystyle f}$ de ${\displaystyle \mathbb {C} \backslash {\big (}\{0\}\cup \{1/n\ |\ n\in \mathbb {Z} \}{\big )}}$ em ${\displaystyle \mathbb {C} }$ definida por ${\displaystyle f(z)=1/\mathrm {sen} (\pi /z)}$ não é uma função meromorfa de ${\displaystyle \mathbb {C} }$ em ${\displaystyle \mathbb {C} }$, pois ${\displaystyle \{0\}\cup \{1/n\ |n\in \mathbb {Z} \}}$ não é um conjunto discreto (pois ${\displaystyle 0}$ é um ponto de acumulação). Mas ${\displaystyle f}$ é uma função meromorfa de ${\displaystyle \mathbb {C} \backslash \{0\}}$ em ${\displaystyle \mathbb {C} }$ (pois agora o conjunto dos polos de ${\displaystyle f}$ é discreto).
• A função ${\displaystyle f}$ de ${\displaystyle \mathbb {C} \backslash \{0\}}$ em ${\displaystyle \mathbb {C} }$ definida por ${\displaystyle f(z)=e^{1/z}}$ não é uma função meromorfa de ${\displaystyle \mathbb {C} }$ em ${\displaystyle \mathbb {C} }$, pois não tem um polo em ${\displaystyle 0}$.

Propriedades

Seja ${\displaystyle \Omega }$ um aberto conexo não vazio de ${\displaystyle \mathbb {C} }$ e sejam ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ duas funções meromorfas de ${\displaystyle \Omega }$ em ${\displaystyle \mathbb {C} }$. A função ${\displaystyle f}$ tem por domínio um conjunto da forma ${\displaystyle \Omega }$ \ ${\displaystyle D_{f}}$ e a função ${\displaystyle g}$ tem por domínio um conjunto da forma ${\displaystyle \Omega \backslash D_{g}}$, sendo ${\displaystyle D_{f}}$ e ${\displaystyle D_{g}}$ conjuntos fechados e discretos. Começa-se por definir ${\displaystyle f+g}$ em ${\displaystyle \Omega \backslash (D_{f}\cup D_{g})}$ da maneira usual: ${\displaystyle (f+g)(z)=f(z)+g(z)}$. Para cada ${\displaystyle z_{0}\in D_{f}\cup D_{g}}$, é possível que exista o limite

${\displaystyle \lim _{z\to z_{0}}{\Big [}f(z)+g(z){\Big ]}}$;

se for esse o caso, define-se ${\displaystyle (f+g)(z_{0})}$ como sendo esse limite. Definindo ${\displaystyle f+g}$ desse modo, então tem-se novamente uma função meromorfa. Pode-se definir analogamente as funções ${\displaystyle f-g}$, ${\displaystyle f\cdot g}$ e ${\displaystyle f/g}$ (esta última caso ${\displaystyle g}$ não seja a função nula). Com estas operações, o conjunto das funções meromorfas de ${\displaystyle \Omega }$ em ${\displaystyle \mathbb {C} }$ passa a ter uma estrutura de corpo.

O quociente de duas funções holomorfas é uma função meromorfa. Reciprocamente, qualquer função meromorfa pode ser expressa como o quociente de duas funções holomorfas.

Referências

1. Ahlfors 1979, p. 128.

Bibliografia

• Ahlfors, Lars (1979). Complex Analysis (3ª ed) (em inglês). [S.l.]: McGraw-Hill Book Company 

• Portal da matemática