Fórmula de Leibniz

A fórmula de Leibniz, em referência a Gottfried Wilhelm Leibniz, é uma fórmula usada para encontrar a derivada de uma integral da forma:$${\displaystyle \int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\ dt,}$$em que ${\displaystyle a(x)}$, ${\displaystyle b(x)}$ e ${\displaystyle f(x,t)}$ são funções dependentes de ${\displaystyle x}$. Adicionalmente, ${\displaystyle a(x)}$ e ${\displaystyle b(x)}$ devem ser funções deriváveis em ${\displaystyle x}$ com derivadas contínuas, enquanto ${\displaystyle f(x,t)}$ e sua derivada parcial em relação a ${\displaystyle x}$ também devem ser funções contínuas em ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle t}$.

Nessas condições a fórmula é expressa como:$${\displaystyle {d \over dx}\left(\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\ dt\right)=f(x,b(x))\cdot {d \over dx}b(x)-f(x,a(x))\cdot {d \over dx}a(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\partial \over \partial x}f(x,t)\ dt}$$em que na última integral faz-se uso de uma derivada parcial em ${\textstyle f(x,t)}$ com respeito a ${\textstyle x}$.

Escrevendo o lado direito da fórmula na notação de Lagrange tem-se:$${\displaystyle {d \over dx}\left(\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\ dt\right)=f(x,b(x))\cdot b'(x)-f(x,a(x))\cdot a'(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}f_{x}(x,t)\ dt.}$$No caso especial em que ${\displaystyle a(x)}$ e ${\displaystyle b(x)}$ são funções constantes (não dependem de ${\displaystyle x}$), ${\textstyle a(x)=a}$ e ${\textstyle b(x)=b}$, obtemos a relação:$${\displaystyle {d \over dx}\left(\int _{a}^{b}f(x,t)\ dt\right)=\int _{a}^{b}{\partial \over \partial x}f(x,t)\ dt.}$$Outro caso especial é dado quando ${\textstyle a(x)=a}$ e ${\textstyle b(x)=x}$, sendo útil na demonstração da fórmula de Cauchy para integrações repetidas utilizando o princípio de indução finita:$${\displaystyle {d \over dx}\left(\int _{a}^{x}f(x,t)dt\right)=f(x,x)+\int _{a}^{x}{\partial \over \partial x}f(x,t)dt.}$$

Exemplos

Exemplo 1

Para computar a integral de Dirichlet ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {sen\ x}{x}}dx={\frac {\pi }{2}}}$ , considere a seguinte função

${\displaystyle f(y)=\int _{0}^{\infty }{\frac {sen\ x}{x}}\ e^{-xy}dx}$

tal que, ${\displaystyle f(0)}$ é o valor procurado e sabe-se que ${\displaystyle \lim _{y\to \infty }f(y)=0.}$

${\displaystyle f'(y)=-\int _{0}^{\infty }sen\ x\ e^{-xy}dx}$

integrando por partes duas vezes

${\displaystyle \int sen\ x\ e^{-xy}dx={\frac {-e^{-xy}(cos\ x+y\ sen\ x)}{1+y^{2}}}}$

portanto

${\displaystyle f'(y)=-{\frac {1}{1+y^{2}}}}$

integrando de 0 a infinito de ambos os lados

${\displaystyle \lim _{y\to \infty }f(y)-f(0)=-{\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle f(0)={\frac {\pi }{2}}}$

Exemplo 2

Para computar a Integral Gaussiana ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}}$ , reescreve a integral

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx=\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx+\int _{-\infty }^{0}e^{-x^{2}}dx}$.

Sabendo que, se ${\displaystyle f}$ for uma função par (prova no final),

${\displaystyle \int _{0}^{a}f=\int _{-a}^{0}f}$

e como ${\displaystyle e^{-x^{2}}}$ é par, a integral Gaussina pode ser escrita como

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx=2\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx}$.

Faça a seguinte notação${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx=I}$. Considere a seguinte função

${\displaystyle f(x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x^{2}(1+y^{2})}}{1+y^{2}}}dy}$

${\displaystyle f'(x)=-2xe^{-x^{2}}\int _{0}^{\infty }e^{-(xy)^{2}}dy}$

fazendo ${\displaystyle xy=u}$

${\displaystyle f'(x)=-2e^{-x^{2}}\int _{0}^{\infty }e^{-(u)^{2}}du=-2e^{-x^{2}}I}$

integrando de 0 a infito de ambos os lados

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)-f(0)=-2I\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx}$

${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}=-2I^{2}}$

${\displaystyle 2I={\sqrt {\pi }}.}$

Antes de provar que, para uma ${\displaystyle f}$ par, ${\displaystyle \int _{0}^{a}f=\int _{-a}^{0}f.}$ Considere a afirmação: Se ${\displaystyle f}$ for par, então ${\displaystyle g}$ é ímpar, tal que ${\displaystyle \int f=g}$. Prova:

Defina ${\displaystyle F(x)=\int _{0}^{x}f(t)dt}$.

${\displaystyle F(x)=\int _{0}^{x}f(t)dt=\int _{0}^{x}f(-t)dt}$

fazendo ${\displaystyle u=-t}$

${\displaystyle F(x)=\int _{0}^{-x}f(u)du=F(-x).}$

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