Em álgebra linear, o quociente de um espaço vetorial V por um subespaço N é um espaço vetorial obtido pelo "colapso" de N a zero. O espaço obtido é chamado de espaço quociente e é denotado por V/N.
Definição
Formalmente, a construção do conceito ocorre na seguinte maneira (Halmos 1974, §21-22). Seja V um espaço vetorial sobre o corpo K, e seja N um subespaço de V. Define-se uma relação de equivalência ~ em V ao afirmar que x ~ y ocorre se x − y ∈ N. Isto é, x está relacionado a y se um puder ser obtido a partir do outro ao somar um elemento pertencente a N. Dessa definição, é possível deduzir que qualquer elemento em N está relacionado ao vetor nulo; mais precisamente, todos os vetores em N são mapeados para a classe de equivalência do vetor nulo.
A classe de equivalência (ou, nesse caso, a coclasse) de x é frequentemente denotada como
- [x] = x + N
já que é dada por
- [x] = {x + n : n ∈ N}.
O espaço quociente V/N é então definido como V/~, o conjunto de todas as classes de equivalência sobre V por ~. A multiplicação por escalares e a adição estão definidas em classes de equivalência como
- α[x] = [αx] for all α ∈ K, and
- [x] + [y] = [x+y].
Não é difícil verificar que essas operações estão bem definidas (isto é, não dependem na escolha de representação). Essas operações tornam o espaço quociente V/N em um espaço vetorial sobre K com N sendo a classe zero, [0].
O mapeamento que associa a v ∈ V a classe de equivalência [v] é conhecido como mapeamento quociente.
Referências
