Equação diferencial de Bernoulli

 Nota: Este artigo é sobre a equação diferencial. Para a equação em mecânica de fluidos, veja Equação de Bernoulli.

A Equação diferencial de Bernoulli, cujo nome vem de Jakob Bernoulli, é uma equação diferencial ordinária não linear, de primeira ordem, da forma:

${\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)y^{n}.}$

(0.1)

onde ${\displaystyle n}$ é um qualquer número real. Para ${\displaystyle n\neq 0}$ e ${\displaystyle n\neq 1}$ esta equação diferencial não é linear.

Desenvolvimento

Para a resolver, vamos fazer uma mudança de variável dependente que a vai transformar numa equação diferencial linear de primeira ordem.

Começamos por dividir ambos membros por ${\displaystyle y^{n}:}$

${\displaystyle y^{-n}y'+P(x)y^{1-n}=Q(x).}$

(0.2)

Seja agora

${\displaystyle w=y^{1-n}}$

Derivando ${\displaystyle w}$ obtemos

${\displaystyle w'=(1-n)y^{1-n-1}y'=(1-n)y^{-n}y'}$

Multiplicando ambos membros de (0.2) por ${\displaystyle 1-n,}$ fica

${\displaystyle (1-n)y^{-n}y'+(1-n)P(x)y^{1-n}=(1-n)Q(x).}$

(0.3)

Ou seja,

${\displaystyle w'+(1-n)P(x)w=(1-n)Q(x).}$

(0.4)

A última equação é uma equação diferencial linear que (supondo, como acima, ${\displaystyle P(x)}$ e ${\displaystyle Q(x)}$ contínuas) pode ser resolvida pelo processo anteriormente descrito, chegando-se à solução geral de (0.9), depois de se substituir ${\displaystyle w}$ por ${\displaystyle y^{1-n}.}$

Exemplo

Vamos resolver a seguinte equação diferencial

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}+{\frac {1}{x}}y=xy^{2}.}$

(0.5)

Dividindo ambos os membros por ${\displaystyle y^{2}}$ fica

${\displaystyle y'y^{-2}+{\frac {1}{x}}y^{-1}=x.}$

(0.6)

Pondo

${\displaystyle w=y^{-1}.}$

${\displaystyle w'=-y^{-2}y'.}$

A equação (0.6) é equivalente a

${\displaystyle -y^{-2}y'-{\frac {1}{x}}y^{-1}=-x.}$

(0.7)

Substituindo ${\displaystyle y}$ por ${\displaystyle w,}$ vem

${\displaystyle w'-{\frac {1}{x}}w=-x.}$

(0.8)

Usando a notação anterior,

${\displaystyle P(x)=-{\frac {1}{x}}}$ e ${\displaystyle Q(x)=-x.}$

${\displaystyle \int _{}^{}P(x)\,dx=\int _{}^{}-{\frac {1}{x}}\,dx=-\ln |x|=\ln |x|^{-1}}$

onde

${\displaystyle e^{\int _{}^{}P(x)\,dx}=e^{\ln |x|^{-1}}=|x|^{-1}}$

e

${\displaystyle \int _{}^{}e^{\int _{}^{}P(x)\,dx}Q(x)\,dx=\int _{}^{}|x|^{-1}(-x)\,dx=\left\{{\begin{matrix}\int _{}^{}-1\,dx,&{\mbox{se }}x\geq 0\\\int _{}^{}1\,dx,&{\mbox{se }}x<0\end{matrix}}\right.=\left\{{\begin{matrix}-x&{\mbox{se }}x\geq 0\\x&{\mbox{se }}x<0\end{matrix}}\right.=-|x|.}$

A solução geral de (0.8) é dada por

${\displaystyle e^{\int _{}^{}P(x)\,dx}w=\int _{}^{}e^{\int _{}^{}P(x)\,dx}Q(x)\,dx+C}$

ou seja,

${\displaystyle |x|^{-1}w=-|x|+C.}$

(0.9)

Para ${\displaystyle x\neq 0,}$ (0.9) é equivalente a

${\displaystyle w=-|x|^{2}+C|x|,}$

ou seja, atendendo a que C é uma constante qualquer,

${\displaystyle w=-|x|^{2}+Cx.}$

Substituindo ${\displaystyle w}$ por ${\displaystyle y^{-1},}$ vem

${\displaystyle y^{-1}=-x^{2}+Cx,}$

ou ainda,

${\displaystyle y={\frac {1}{-x^{2}+Cx}}.}$

Ver também

• Equação diferencial
• Equação diferencial linear

Referências

• Bernoulli, Jacob (1695), «Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis», Acta Eruditorum . Cited in Hairer, Nørsett & Wanner (1993).
• Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, ISBN 978-3-540-56670-0, Berlin, New York: Springer-Verlag .

Ligações externas

• Bernoulli equation, PlanetMath.org.

• Portal da matemática