Equação de Torricelli

A Equação de Torricelli é uma equação proposta pelo físico e matemático italiano Evangelista Torricelli. O primeiro registro da equação na literatura remonta aos estudos de Torricelli a respeito do movimento da água. Ao tentar determinar a velocidade de saída de um jato d’agua jorrando de um pequeno orifício de um recipiente, ele notou que a velocidade do fluxo seria igual a velocidade de uma gota em queda livre.^[1]

Comumente essa equação aparece nos livros didáticos como uma forma calcular a velocidade final de um corpo em movimento retilíneo uniformemente variado, ou seja, com aceleração constante, sem a necessidade de se conhecer o intervalo de tempo em que este permaneceu em movimento.^[2]

A equação tem a forma:

${\displaystyle {v}^{2}={v_{o}}^{2}+2a\Delta x}$

Onde ${\displaystyle v}$ representa a velocidade final do corpo, ${\displaystyle v_{0}}$ representa a velocidade inicial do corpo, ${\displaystyle \Delta x}$ representa o deslocamento e ${\displaystyle a}$ representa a aceleração.^[3]

Deduções

Pela cinemática

Esta equação pode ser deduzida a partir das seguintes equações^[3]

${\displaystyle x=x_{o}+v_{o}t+{\frac {at^{2}}{2}}}$

(1)

${\displaystyle v=v_{o}+at}$

(2)

Isolando ${\displaystyle t}$ na Equação (2), temos que^[4]

${\displaystyle t={\frac {(v-v_{o})}{a}}}$

E substituindo-o na Equação (1), temos que^[4]

${\displaystyle x-x_{o}=v_{o}\left({\frac {v-v_{o}}{a}}\right)+{\frac {a}{2}}\left({\frac {v-v_{o}}{a}}\right)^{2}}$

Podemos chamar ${\displaystyle x-x_{0}}$ de ${\displaystyle \Delta x}$

${\displaystyle \Delta x=\left({\frac {vv_{o}-v_{o}^{2}}{a}}\right)+{\frac {a}{2}}\left({\frac {v^{2}-2vv_{o}+v_{o}^{2}}{a^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \Delta x={\frac {vv_{o}-v_{o}^{2}}{a}}+{\frac {v^{2}-2vv_{o}+v_{o}^{2}}{2a}}}$

${\displaystyle \Delta x={\frac {2v_{o}-2v_{o}^{2}}{2a}}+{\frac {v^{2}-2vv_{o}+v_{o}^{2}}{2a}}}$

${\displaystyle 2a\Delta x=2vv_{o}-2v_{o}^{2}+v^{2}-2vv_{o}+v_{o}^{2}}$

${\displaystyle 2a\Delta x=-v_{o}^{2}+v^{2}}$

E por fim, temos o resultado desejado

${\displaystyle v^{2}=v_{o}^{2}+2a\Delta x}$

Pelo teorema do trabalho-energia

O teorema do trabalho-energia diz que o trabalho produzido por uma força, em um determinado corpo, é igual à variação da energia cinética desse corpo.^[5]

${\displaystyle W=\Delta K}$

${\displaystyle F\Delta x={\frac {m{v}^{2}}{2}}-{\frac {m{v_{0}}^{2}}{2}}}$

Pela segunda lei de Newton, sabemos que ${\displaystyle F=ma}$

${\displaystyle ma\Delta x={\frac {m{v}^{2}}{2}}-{\frac {m{v_{0}}^{2}}{2}}}$

${\displaystyle a\Delta x={\frac {{v}^{2}}{2}}-{\frac {{v_{0}}^{2}}{2}}}$

${\displaystyle 2a\Delta x={v}^{2}-{v_{0}}^{2}}$

Desse modo, temos o resultado desejado

${\displaystyle {v}^{2}={v_{0}}^{2}+2a\Delta x}$

Pelo cálculo diferencial e integral

Por definição, a derivada temporal da velocidade é igual a aceleração do corpo^[5].

${\displaystyle {\frac {dv}{dt}}=a}$

Multiplicando os dois lados da equação pela velocidade.

${\displaystyle v{\frac {dv}{dt}}=av}$

E por definição, a velocidade é a derivada temporal do espaço^[5].

${\displaystyle v{\frac {dv}{dt}}=a{\frac {dx}{dt}}}$

Multiplicando os dois lados da equação por ${\displaystyle dt}$.

${\displaystyle v\ dv=a\ dx}$

Resolvendo essa equação diferencial.

${\displaystyle \int _{v_{0}}^{v}v'\ dv'=\int _{x_{0}}^{x}a\ dx'}$

${\displaystyle {\frac {{v}^{2}}{2}}-{\frac {{v_{0}}^{2}}{2}}=a(x-x_{0})}$

${\displaystyle {v}^{2}-{v_{0}}^{2}=2a(x-x_{0})}$

Chamando ${\displaystyle x-x_{0}}$ de ${\displaystyle \Delta x}$.

${\displaystyle {v}^{2}={v_{0}}^{2}+2a\Delta x}$

Referências

1. Parizotto, Carlos. «Torricelli, Evangelista (1608-1647)». Consultado em 3 de novembro de 2022 
2. Macêdo, Marcos Antonio Rodrigues (dezembro de 2010). «A equação de Torricelli e o estudo do movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV)». Revista Brasileira de Ensino de Física: 4307–4307–5. ISSN 1806-1117. doi:10.1590/S1806-11172010000400007. Consultado em 4 de novembro de 2022 
3. Thomas Carvalho (27 de agosto de 2007). «Equação de Torricelli». InfoEscola. Consultado em 10 de abril de 2013 
4. Domiciano Marques. «Determinando a equação de Torricelli». R7. Brasil Escola. Consultado em 10 de abril de 2013 
5. Young, Hugh D. (2020). Sears and Zemansky's university physics with modern physics. Roger A. Freedman, A. Lewis Ford, Hugh D. Young Fifteenth edition, extended edtion ed. [Hoboken, N.J.]: [s.n.] OCLC 1057733965