Enrique Eguía Seguí fez os estudos eclesiásticos no seminário de Buenos Aires. Recebeu o sacramento da ordem em 3 de dezembro de 1988.[2]
Após a ordenação, foi vice-pároco e pároco em diversas paróquias da Arquidiocese e Diretor do Departamento Arquidiocesano das Escolas Paroquiais. Até sua nomeação, era Pároco de “Nuestra Señora de la Esperanza”, membro do Conselho Presbiteral, Diretor Executivo do Vicariato Episcopal para a Pastoral e Chefe da Comissão Arquidiocesana para a Formação Permanente do Clero. Também foi colaborador da Conferência Episcopal Argentina nos cursos de formação de clérigos e no Secretariado.[2]
Mons. Eguía foi Vigário Episcopal do Vicariato de Belgrano e da Área Central, Vigário Episcopal da Pastoral, Pró-Vigário Geral e Vigário Geral. Na Conferência Episcopal Argentina foi Secretário por dois mandatos (2008-2014).[3]