A função densidade de probabilidade da distribuição log-normal para µ=0 e diferentes valores de σ. A função distribuição acumulada da distribuição log-normal para µ=0 e diferentes valores de σ. Em probabilidade e estatística , uma variável aleatória é uma distribuição de probabilidade , cujo logaritmo é normalmente distribuído . Uma variável aleatória X tem a distribuição log-normal quando o seu logaritmo
Y
=
log
-->
(
X
)
{\displaystyle Y=\log(X)\,}
f
(
x
;
μ μ -->
,
σ σ -->
)
=
1
x
σ σ -->
2
π π -->
exp
-->
[
− − -->
(
ln
-->
(
x
)
− − -->
μ μ -->
)
2
2
σ σ -->
2
]
{\displaystyle f(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[-{\frac {\left(\ln(x)-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}
A importância da distribuição log-normal se deve a um resultado análogo ao Teorema do Limite Central : assim como uma distribuição normal aparece quando são somadas várias variáveis independentes (para ver o enunciado mais preciso, consulte o artigo sobre o teorema ), a distribuição log-normal aparece naturalmente como o produto de várias variáveis independentes (sempre positivas).
Por exemplo, em Finanças , o preço de uma ação no futuro pode ser modelado como o efeito de vários pequenos ajustes independentes, ou seja:
P
n
=
P
0
× × -->
(
1
± ± -->
ϵ ϵ -->
1
)
× × -->
… … -->
× × -->
(
1
± ± -->
ϵ ϵ -->
n
)
{\displaystyle P_{n}=P_{0}\times (1\pm \epsilon _{1})\times \ldots \times (1\pm \epsilon _{n})\,}
Ou seja, aplicando o log, temos que
log
-->
P
n
{\displaystyle \log P_{n}\,}
Pn pode ser aproximado por uma log-normal.
O valor esperado de
X
=
exp
-->
(
Y
)
{\displaystyle X=\exp(Y)\,}
Y é uma variável aleatória normal , vale:
E
(
X
)
=
E
(
exp
-->
(
Y
)
)
=
exp
-->
(
E
(
Y
)
+
0.5
var
(
Y
)
)
{\displaystyle E(X)=E(\exp(Y))=\exp(E(Y)+0.5{\mbox{var}}(Y))\,}
em que
var
(
Y
)
{\displaystyle {\mbox{var}}(Y)\,}
variância de Y.
A variância da log-normal também pode ser expressa em função da normal. Sendo
X
=
exp
-->
(
Y
)
{\displaystyle X=\exp(Y)\,}
Y normal, temos:
var
(
X
)
=
exp
-->
(
2
E
(
Y
)
+
var
(
Y
)
)
(
exp
-->
(
var
(
Y
)
)
− − -->
1
)
{\displaystyle {\mbox{var}}(X)=\exp(2E(Y)+{\mbox{var}}(Y))(\exp({\mbox{var}}(Y))-1)\,}
Seja
X
=
exp
-->
(
Y
)
{\displaystyle X=\exp(Y)\,}
E
(
Y
)
=
ln
-->
(
E
(
X
)
)
− − -->
1
2
ln
-->
(
1
+
var
(
X
)
(
E
(
X
)
)
2
)
,
{\displaystyle E(Y)=\ln(E(X))-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+{\frac {{\mbox{var}}(X)}{(E(X))^{2}}}\right),}
Var
(
Y
)
=
ln
-->
(
Var
(
X
)
(
E
(
X
)
)
2
+
1
)
.
{\displaystyle {\mbox{Var}}(Y)=\ln \left({\frac {{\mbox{Var}}(X)}{(E(X))^{2}}}+1\right).}
![{\displaystyle f(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[-{\frac {\left(\ln(x)-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e38f9a3522b48c21d7238b077b4dec106b4a9822)
