Distribuição de Cauchy

Distribuição de Cauchy
A curva roxa é a distribuição de Cauchy padrão
Função de distribuição acumulada da distribuição de Cauchy
Parâmetros	${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \gamma >0}$
Suporte	${\displaystyle \displaystyle x\in (-\infty ,+\infty )}$
f.d.p.	${\displaystyle {\frac {1}{\pi \gamma \left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right]}}}$
f.d.a.	${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)+{\frac {1}{2}}}$
Média	indefinida
Mediana	${\displaystyle x_{0}}$
Moda	${\displaystyle x_{0}}$
Variância	indefinida
Obliquidade	indefinida
Curtose	indefinida
Entropia	${\displaystyle \ln(4\pi \gamma )}$
Função Geradora de Momentos	não existe
Função Característica	${\displaystyle \displaystyle \exp(x_{0}it-\gamma |t|)}$

A distribuição de Cauchy-Lorentz, assim chamada em homenagem a Augustin Cauchy e Hendrik Lorentz, é a distribuição de probabilidades dada pela função densidade de probabilidade ^[1]

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi (1+x^{2})}}\,}$

A sua média não é definida, logo ela também não tem desvio padrão. O seu segundo cumulante é infinito.

A distribuição de Cauchy pode ser simulada como a razão entre duas normais independentes.

Nome

Em probabilidade e estatística, esta distribuição é conhecida como a distribuição de Cauchy, enquanto que entre físicos, ela é conhecida como a distribuição de Lorentz ou como a distribuição (não-relativística) de Breit-Wigner (dos físicos Gregory Breit e Eugene Wigner).

Propriedades

Distribuição de probabilidade de Cauchy ajustada às precipitações máximas diárias mensais

Se X₁, …, X_n forem variáveis aleatórias i.i.d. (independentes e identicamente distribuídas), cada uma com a distribuição de Cauchy. então a sua média aritmética (X₁ + … + X_n)/n tem também a distribuição de Cauchy. Demonstra-se isso calculando-se a função característica da média: ^[2]

${\displaystyle \phi _{\overline {X}}(t)=\mathrm {E} \left(e^{i\,{\overline {X}}\,t}\right)\,\!}$

Em que ${\displaystyle {\overline {X}}}$ é a média. Este é um contra-exemplo para o Teorema Central do Limite, exibindo porque a hipótese da variância finita das parcelas deve ser mantida. Este também é um exemplo de uma versão generalizada do Teorema Central do Limite, mostrando propriedades das distribuições estáveis, do qual a Cauchy e a distribuição normal são casos particulares.

Versão multivariada k-dimensional

É fácil notar que a versão multivariada k-dimensional desta densidade é equivalente a uma densidade de Student Multivariada não-central quando temos somente 1 grau de liberdade: ^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}f({\mathbf {x} };{\mathbf {\mu } },{\mathbf {\Sigma } })&={\frac {\Gamma \left[(1+k)/2\right]}{\Gamma (1/2)\pi ^{k/2}\left|{\mathbf {\Sigma } }\right|^{1/2}\left[1+({\mathbf {x} }-{\mathbf {\mu } })^{T}{\mathbf {\Sigma } }^{-1}({\mathbf {x} }-{\mathbf {\mu } })\right]^{(1+k)/2}}}\end{aligned}}}$

onde ${\displaystyle {\mathbf {\Sigma } }}$ e ${\displaystyle {\mathbf {\mu } }}$ são uma matriz de covariância e um vetor de locação, respectivamente, parâmetros da densidade.

Ligações externas

• Calculadora - Distribuição de Cauchy

Referências

1. «6.8 - Distribuição de Cauchy - Probabilidades». Portal Action. Consultado em 30 de julho de 2019 
2. Clécio da Silva Ferreira - Variáveis Aleatórias Contínuas UFJF 2012
3. Fábio Mariano Bayer, Modelagem e Inferência em Regressão Beta , Universidade Federal de Pernambuco, Outubro de 2011

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