Nota: Para a tecla de computador, veja
Delete .
Nota: Para Diodo emissor de luz, veja
LED .
No cálculo vectorial , o del é um operador diferencial representado pelo símbolo nabla
(
∇ ∇ -->
)
.
{\displaystyle \left(\nabla \right).}
Derivada em função do espaço
Seja um campo escalar diferenciável
f
{\displaystyle f}
em função do vector espaço
x
→ → -->
.
{\displaystyle {\vec {x}}.}
Então:
∀ ∀ -->
n
∈ ∈ -->
N
∗ ∗ -->
D
n
f
=
∂ ∂ -->
f
∂ ∂ -->
x
→ → -->
n
{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N_{*}} \quad D_{n}f={\frac {\partial f}{\partial {\vec {x}}_{n}}}}
Em altas ordens
A derivada em função do espaço em alta ordem é representada por uma multiplicação simbólica como no exemplo abaixo (de 2ª ordem):
∀ ∀ -->
n
,
m
∈ ∈ -->
N
∗ ∗ -->
2
D
n
D
m
f
=
D
n
(
D
m
f
)
=
∂ ∂ -->
(
∂ ∂ -->
f
∂ ∂ -->
x
→ → -->
m
)
∂ ∂ -->
x
→ → -->
n
=
∂ ∂ -->
2
f
∂ ∂ -->
x
→ → -->
n
∂ ∂ -->
x
→ → -->
m
{\displaystyle \forall n,m\in \mathbb {N_{*}} \!^{2}\quad D_{n}D_{m}f=D_{n}\left(D_{m}\,f\right)={\frac {\partial \left({\frac {\partial f}{\partial {\vec {x}}_{m}}}\right)}{\partial {\vec {x}}_{n}}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial {\vec {x}}_{n}\partial {\vec {x}}_{m}}}}
Essa operação é comutativa de acordo com o teorema de Clairaut-Schwarz , então, do exemplo acima pode-se afirmar que:
D
n
D
m
f
=
D
m
D
n
f
{\displaystyle D_{n}D_{m}f=D_{m}D_{n}f}
Quando os índices são iguais podemos fazer uma exponenciação simbólica.
∀ ∀ -->
k
,
n
∈ ∈ -->
N
∗ ∗ -->
2
D
n
k
f
=
D
n
D
n
(
… … -->
)
D
n
⏟ ⏟ -->
k
f
=
∂ ∂ -->
k
f
∂ ∂ -->
x
→ → -->
n
k
{\displaystyle \forall k,n\in \mathbb {N_{*}} \!^{2}\quad D_{n}^{k}f=\underbrace {D_{n}D_{n}\left(\ldots \right)D_{n}} _{k}f={\frac {\partial ^{k}f}{\partial {\vec {x}}\,_{n}^{k}}}}
Em outras coordenadas ortogonais
Para todo sistema de coordenadas ortogonal
q
→ → -->
{\displaystyle {\vec {q}}}
temos que:
D
n
f
=
∂ ∂ -->
f
q
→ → -->
n
∂ ∂ -->
q
→ → -->
n
{\displaystyle D_{n}f={\frac {\partial f}{{\vec {q}}_{n}\partial {\vec {q}}_{n}}}}
Operações
Seja um campo escalar
f
{\displaystyle f}
e um campo vectorial
F
→ → -->
{\displaystyle {\vec {F}}}
ambos diferenciáveis em função do vector espaço
x
→ → -->
.
{\displaystyle {\vec {x}}.}
Gradiente
Visualização da interpretação de gradiente - o campo escalar domínio está em preto e a imagem, vectorial, em azul.
Em cada ponto, o gradiente aponta para o vizinho que representar o maior incremento infinitesimal. O gradiente é um campo vectorial e seu domínio é um campo escalar.
∇ ∇ -->
f
=
∑ ∑ -->
i
D
i
f
⋅ ⋅ -->
e
^ ^ -->
i
{\displaystyle \nabla f=\sum ^{i}D_{i}f\cdot {\hat {e}}_{i}}
Portanto o gradiente de
f
{\displaystyle f}
para três dimensões no espaço carteseano
x
→ → -->
=
⟨
x
,
y
,
z
⟩
{\displaystyle {\vec {x}}=\left\langle x,y,z\right\rangle }
é dado por:
∇ ∇ -->
f
=
⟨
∂ ∂ -->
f
∂ ∂ -->
x
,
∂ ∂ -->
f
∂ ∂ -->
y
,
∂ ∂ -->
f
∂ ∂ -->
z
⟩
{\displaystyle \nabla f=\left\langle {\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\right\rangle }
O processo de computação do gradiente é revertido pelo integral de linha de acordo com o teorema do gradiente .
Δ Δ -->
f
=
f
Q
− − -->
f
P
=
∫ ∫ -->
γ γ -->
P
γ γ -->
Q
∇ ∇ -->
f
⋅ ⋅ -->
d
γ γ -->
→ → -->
{\displaystyle \Delta f=f_{Q}-f_{P}=\int _{\gamma _{P}}^{\gamma _{Q}}\nabla f\cdot {\vec {d\gamma }}}
Identidades do gradiente
∇ ∇ -->
(
f
+
g
)
=
∇ ∇ -->
f
+
∇ ∇ -->
g
{\displaystyle \nabla (f+g)=\nabla f+\nabla g}
∇ ∇ -->
(
f
g
)
=
f
∇ ∇ -->
g
+
g
∇ ∇ -->
f
{\displaystyle \nabla (fg)=f\nabla g+g\nabla f}
Derivada direcional
A derivada direcional é um escalar que representa a derivada dum campo escalar (no caso, f) ao longo de um vector (no caso abaixo,
u
→ → -->
{\displaystyle {\vec {u}}}
).
∀ ∀ -->
u
→ → -->
∇ ∇ -->
u
→ → -->
f
=
u
→ → -->
⋅ ⋅ -->
∇ ∇ -->
f
{\displaystyle \forall {\vec {u}}\quad \nabla \!_{\vec {u}}\,f={\vec {u}}\cdot \nabla f}
Em coordenadas cartesianas,
u
→ → -->
⋅ ⋅ -->
∇ ∇ -->
f
=
u
x
∂ ∂ -->
f
∂ ∂ -->
x
+
u
y
∂ ∂ -->
f
∂ ∂ -->
y
+
u
z
∂ ∂ -->
f
∂ ∂ -->
z
{\displaystyle {\vec {u}}\cdot \nabla f=u_{x}\;{\frac {\partial f}{\partial x}}+u_{y}\;{\frac {\partial f}{\partial y}}+u_{z}\;{\frac {\partial f}{\partial z}}}
Em coordenadas cilíndricas,
u
→ → -->
⋅ ⋅ -->
∇ ∇ -->
f
=
u
r
∂ ∂ -->
f
∂ ∂ -->
r
+
u
θ θ -->
r
∂ ∂ -->
f
∂ ∂ -->
θ θ -->
− − -->
u
θ θ -->
2
r
+
u
z
∂ ∂ -->
f
∂ ∂ -->
z
{\displaystyle {\vec {u}}\cdot \nabla f=u_{r}\;{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {u_{\theta }}{r}}\;{\frac {\partial f}{\partial \theta }}-{\frac {u_{\theta }^{2}}{r}}+u_{z}\;{\frac {\partial f}{\partial z}}}
Divergência
A divergência (ou divergente ) é um campo escalar igual ao traço (álgebra linear) da matriz jacobiana dum campo vectorial.
∇ ∇ -->
∙ ∙ -->
F
→ → -->
=
∑ ∑ -->
i
D
i
F
→ → -->
i
=
Sp
J
x
→ → -->
F
→ → -->
{\displaystyle \nabla \bullet {\vec {F}}=\sum ^{i}D_{i}{\vec {F}}_{i}={\mbox{Sp}}\mathbf {J} _{\vec {x}}^{\vec {F}}}
Portanto a divergência de
F
→ → -->
{\displaystyle {\vec {F}}}
para três dimensões no espaço carteseano
x
→ → -->
=
⟨
x
,
y
,
z
⟩
{\displaystyle {\vec {x}}=\left\langle x,y,z\right\rangle }
é dada pela seguinte soma:
∇ ∇ -->
∙ ∙ -->
F
→ → -->
=
∂ ∂ -->
F
→ → -->
x
∂ ∂ -->
x
+
∂ ∂ -->
F
→ → -->
y
∂ ∂ -->
y
+
∂ ∂ -->
F
→ → -->
z
∂ ∂ -->
z
{\displaystyle \nabla \bullet {\vec {F}}={\frac {\partial {\vec {F}}_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial {\vec {F}}_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial {\vec {F}}_{z}}{\partial z}}}
Denomina-se convergência o inverso aditivo da divergência.
Identidades da divergência
∇ ∇ -->
⋅ ⋅ -->
(
F
→ → -->
+
G
→ → -->
)
=
∇ ∇ -->
⋅ ⋅ -->
F
→ → -->
+
∇ ∇ -->
⋅ ⋅ -->
G
→ → -->
{\displaystyle \nabla \cdot ({\overrightarrow {F}}+{\overrightarrow {G}})=\nabla \cdot {\overrightarrow {F}}+\nabla \cdot {\overrightarrow {G}}}
Rotacional
A rotacional (ou rotor ) é o determinante entre três bases padrões, três componentes do vector del e três componentes dum campo vectorial.
∇ ∇ -->
× × -->
F
→ → -->
=
∑ ∑ -->
i
D
i
F
→ → -->
× × -->
e
^ ^ -->
i
=
∑ ∑ -->
i
j
k
ε ε -->
i
j
k
⋅ ⋅ -->
e
^ ^ -->
i
⋅ ⋅ -->
D
j
F
→ → -->
k
{\displaystyle \nabla \times {\vec {F}}=\sum _{i}D_{i}{\vec {F}}\times {\hat {e}}_{i}=\sum _{ijk}\varepsilon _{ijk}\cdot {\hat {e}}_{i}\cdot D_{j}{\vec {F}}_{k}}
Pelo teorema de Laplace o rotor de
F
→ → -->
{\displaystyle {\vec {F}}}
no espaço carteseano
x
→ → -->
=
⟨
x
,
y
,
z
⟩
{\displaystyle {\vec {x}}=\left\langle x,y,z\right\rangle }
é:
∇ ∇ -->
× × -->
F
→ → -->
=
⟨
D
y
F
→ → -->
z
− − -->
D
z
F
→ → -->
y
,
D
z
F
→ → -->
x
− − -->
D
x
F
→ → -->
z
,
D
x
F
→ → -->
y
− − -->
D
y
F
→ → -->
x
⟩
{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times {\vec {F}}={\bigg \langle }&D_{y}{\vec {F}}_{z}-D_{z}{\vec {F}}_{y},\\&D_{z}{\vec {F}}_{x}-D_{x}{\vec {F}}_{z},\\&D_{x}{\vec {F}}_{y}-D_{y}{\vec {F}}_{x}{\bigg \rangle }\\\end{aligned}}}
Identidades do rotacional
∇ ∇ -->
× × -->
(
F
→ → -->
+
G
→ → -->
)
=
∇ ∇ -->
× × -->
F
→ → -->
+
∇ ∇ -->
× × -->
G
→ → -->
{\displaystyle \nabla \times ({\overrightarrow {F}}+{\overrightarrow {G}})=\nabla \times {\overrightarrow {F}}+\nabla \times {\overrightarrow {G}}}
Operações combinadas
Das nove possíveis simples combinações entre os operadores gradiente, divergente e rotor duas a duas, quatro são impossíveis, duas são triviais nulas (sempre resultam em zero) – restam três operadores dos quais um recebe um nome especial, que é o divergente do gradiente denominado laplaciano .
…gradiente de
f
{\displaystyle f}
…divergente de
F
→ → -->
{\displaystyle {\vec {F}}}
…rotor de
F
→ → -->
{\displaystyle {\vec {F}}}
Gradiente do…
(indefinido)
Gradiente do divergente
(indefinido)
Divergente do…
Laplaciano escalar
(indefinido)
(trivial nulo)
Rotor do…
(trivial nulo)
(indefinido)
Rotor do rotor
Todas essas três operações definidas e não-triviais são relacionadas pela seguinte identidade:
(
∑ ∑ -->
i
∇ ∇ -->
2
F
→ → -->
i
)
⏟ ⏟ -->
l
a
p
l
a
c
i
a
n
o
v
e
c
t
o
r
i
a
l
+
(
∇ ∇ -->
× × -->
∇ ∇ -->
× × -->
F
→ → -->
)
⏟ ⏟ -->
r
o
t
o
r
d
o
r
o
t
o
r
=
(
∇ ∇ -->
(
∇ ∇ -->
∙ ∙ -->
F
→ → -->
)
)
⏟ ⏟ -->
g
r
a
d
i
e
n
t
e
d
o
d
i
v
e
r
g
e
n
t
e
{\displaystyle \underbrace {\left(\sum ^{i}\nabla ^{2}{\vec {F}}_{i}\right)} _{laplaciano\,vectorial}+\underbrace {\left(\nabla \times \nabla \times {\vec {F}}\right)} _{rotor\,do\,rotor}=\underbrace {\left(\nabla \left(\nabla \bullet {\vec {F}}\right)\right)} _{gradiente\,do\,divergente}}
Laplaciano
O laplaciano escalar é o divergente do gradiente ou o traço (álgebra linear) da matriz hessiana dum campo escalar.
∇ ∇ -->
2
f
=
∇ ∇ -->
∙ ∙ -->
∇ ∇ -->
f
=
∑ ∑ -->
i
D
i
2
f
=
Sp
H
x
→ → -->
f
{\displaystyle \nabla ^{2}f=\nabla \bullet \nabla f=\sum ^{i}D_{i}^{2}f={\mbox{Sp}}\mathbf {H} _{\vec {x}}^{f}}
Onde:
D
i
2
f
=
D
i
(
D
i
f
)
=
∂ ∂ -->
2
f
∂ ∂ -->
x
→ → -->
i
2
{\displaystyle D_{i}^{2}f=D_{i}\left(D_{i}f\right)={\frac {\partial ^{2}f}{\partial {\vec {x}}_{i}^{2}}}}
O laplaciano de
f
{\displaystyle f}
para três dimensões no espaço carteseano
x
→ → -->
=
⟨
x
,
y
,
z
⟩
{\displaystyle {\vec {x}}=\left\langle x,y,z\right\rangle }
é dado pela seguinte soma:
∇ ∇ -->
2
f
=
∂ ∂ -->
2
f
∂ ∂ -->
x
2
+
∂ ∂ -->
2
f
∂ ∂ -->
y
2
+
∂ ∂ -->
2
f
∂ ∂ -->
z
2
{\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}}
Outras combinações
∇ ∇ -->
⋅ ⋅ -->
(
f
F
→ → -->
)
=
(
∇ ∇ -->
f
)
⋅ ⋅ -->
F
→ → -->
+
f
(
∇ ∇ -->
⋅ ⋅ -->
F
→ → -->
)
{\displaystyle \nabla \cdot (f{\overrightarrow {F}})=(\nabla f)\cdot {\overrightarrow {F}}+f(\nabla \cdot {\overrightarrow {F}})}
∇ ∇ -->
× × -->
(
f
F
→ → -->
)
=
(
∇ ∇ -->
f
)
× × -->
F
→ → -->
+
f
(
∇ ∇ -->
× × -->
F
→ → -->
)
{\displaystyle \nabla \times (f{\overrightarrow {F}})=(\nabla f)\times {\overrightarrow {F}}+f(\nabla \times {\overrightarrow {F}})}
∇ ∇ -->
⋅ ⋅ -->
(
F
→ → -->
× × -->
G
→ → -->
)
=
G
→ → -->
⋅ ⋅ -->
(
∇ ∇ -->
× × -->
F
→ → -->
)
− − -->
F
→ → -->
⋅ ⋅ -->
(
∇ ∇ -->
× × -->
G
→ → -->
)
{\displaystyle \nabla \cdot ({\overrightarrow {F}}\times {\overrightarrow {G}})={\overrightarrow {G}}\cdot (\nabla \times {\overrightarrow {F}})-{\overrightarrow {F}}\cdot (\nabla \times {\overrightarrow {G}})}
∇ ∇ -->
(
F
→ → -->
⋅ ⋅ -->
G
→ → -->
)
=
(
G
→ → -->
⋅ ⋅ -->
∇ ∇ -->
)
F
→ → -->
+
(
F
→ → -->
⋅ ⋅ -->
∇ ∇ -->
)
G
→ → -->
+
G
→ → -->
× × -->
(
∇ ∇ -->
× × -->
F
→ → -->
)
+
F
→ → -->
× × -->
(
∇ ∇ -->
× × -->
G
→ → -->
)
{\displaystyle \nabla ({\overrightarrow {F}}\cdot {\overrightarrow {G}})=({\overrightarrow {G}}\cdot \nabla ){\overrightarrow {F}}+({\overrightarrow {F}}\cdot \nabla ){\overrightarrow {G}}+{\overrightarrow {G}}\times (\nabla \times {\overrightarrow {F}})+{\overrightarrow {F}}\times (\nabla \times {\overrightarrow {G}})}
∇ ∇ -->
× × -->
(
F
→ → -->
× × -->
G
→ → -->
)
=
(
G
→ → -->
⋅ ⋅ -->
∇ ∇ -->
)
F
→ → -->
− − -->
G
→ → -->
(
∇ ∇ -->
⋅ ⋅ -->
F
→ → -->
)
− − -->
(
F
→ → -->
⋅ ⋅ -->
∇ ∇ -->
)
G
→ → -->
+
F
→ → -->
(
∇ ∇ -->
⋅ ⋅ -->
G
→ → -->
)
{\displaystyle \nabla \times ({\overrightarrow {F}}\times {\overrightarrow {G}})=({\overrightarrow {G}}\cdot \nabla ){\overrightarrow {F}}-{\overrightarrow {G}}(\nabla \cdot {\overrightarrow {F}})-({\overrightarrow {F}}\cdot \nabla ){\overrightarrow {G}}+{\overrightarrow {F}}(\nabla \cdot {\overrightarrow {G}})}
∇ ∇ -->
× × -->
(
∇ ∇ -->
× × -->
F
→ → -->
)
=
∇ ∇ -->
(
∇ ∇ -->
⋅ ⋅ -->
F
→ → -->
)
− − -->
∇ ∇ -->
2
F
→ → -->
{\displaystyle \nabla \times (\nabla \times {\overrightarrow {F}})=\nabla (\nabla \cdot {\overrightarrow {F}})-\nabla ^{2}{\overrightarrow {F}}}
dado que funções
f
{\displaystyle f}
e
F
→ → -->
{\displaystyle {\overrightarrow {F}}}
têm derivadas parciais de 2.ª ordem contínuas
∇ ∇ -->
× × -->
(
∇ ∇ -->
f
)
=
0
→ → -->
{\displaystyle \nabla \times (\nabla f)={\overrightarrow {0}}}
dado que funções
f
{\displaystyle f}
e
F
→ → -->
{\displaystyle {\overrightarrow {F}}}
têm derivadas parciais de 2.ª ordem contínuas
∇ ∇ -->
⋅ ⋅ -->
(
∇ ∇ -->
× × -->
F
→ → -->
)
=
0
{\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times {\overrightarrow {F}})=0}
dado que funções
f
{\displaystyle f}
e
F
→ → -->
{\displaystyle {\overrightarrow {F}}}
têm derivadas parciais de 2.ª ordem contínuas
Laplaciano vectorial
Cada componente do laplaciano vectorial representa o laplaciano do componente respectivo do campo vectorial argumento.
∇ ∇ -->
2
F
→ → -->
=
∑ ∑ -->
i
∇ ∇ -->
2
F
→ → -->
i
⋅ ⋅ -->
e
^ ^ -->
i
=
∑ ∑ -->
i
j
D
j
2
F
→ → -->
i
⋅ ⋅ -->
e
^ ^ -->
i
=
∑ ∑ -->
i
Sp
H
x
→ → -->
F
→ → -->
i
⋅ ⋅ -->
e
^ ^ -->
i
{\displaystyle \nabla ^{2}{\vec {F}}=\sum ^{i}\nabla ^{2}{\vec {F}}_{i}\cdot {\hat {e}}_{i}=\sum ^{ij}D_{j}^{2}{\vec {F}}_{i}\cdot {\hat {e}}_{i}=\sum ^{i}{\mbox{Sp}}\mathbf {H} _{\vec {x}}^{{\vec {F}}_{i}}\cdot {\hat {e}}_{i}}
Onde:
D
j
2
F
→ → -->
i
=
D
j
(
D
j
F
→ → -->
i
)
=
∂ ∂ -->
2
F
→ → -->
i
∂ ∂ -->
x
→ → -->
j
2
{\displaystyle D_{j}^{2}{\vec {F}}_{i}=D_{j}\left(D_{j}{\vec {F}}_{i}\right)={\frac {\partial ^{2}{\vec {F}}_{i}}{\partial {\vec {x}}_{j}^{2}}}}
Portanto o laplaciano vectorial de
F
→ → -->
{\displaystyle {\vec {F}}}
para três dimensões no espaço carteseano
x
→ → -->
=
⟨
x
,
y
,
z
⟩
{\displaystyle {\vec {x}}=\left\langle x,y,z\right\rangle }
é:
∇ ∇ -->
2
F
→ → -->
=
⟨
∂ ∂ -->
2
F
→ → -->
x
∂ ∂ -->
x
2
+
∂ ∂ -->
2
F
→ → -->
x
∂ ∂ -->
y
2
+
∂ ∂ -->
2
F
→ → -->
x
∂ ∂ -->
z
2
,
∂ ∂ -->
2
F
→ → -->
y
∂ ∂ -->
x
2
+
∂ ∂ -->
2
F
→ → -->
y
∂ ∂ -->
y
2
+
∂ ∂ -->
2
F
→ → -->
y
∂ ∂ -->
z
2
,
∂ ∂ -->
2
F
→ → -->
z
∂ ∂ -->
x
2
+
∂ ∂ -->
2
F
→ → -->
z
∂ ∂ -->
y
2
+
∂ ∂ -->
2
F
→ → -->
z
∂ ∂ -->
z
2
⟩
{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}{\vec {F}}={\Bigg \langle }&{\frac {\partial ^{2}{\vec {F}}_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}{\vec {F}}_{x}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}{\vec {F}}_{x}}{\partial z^{2}}},\\&{\frac {\partial ^{2}{\vec {F}}_{y}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}{\vec {F}}_{y}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}{\vec {F}}_{y}}{\partial z^{2}}},\\&{\frac {\partial ^{2}{\vec {F}}_{z}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}{\vec {F}}_{z}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}{\vec {F}}_{z}}{\partial z^{2}}}{\Bigg \rangle }\\\end{aligned}}}
Vector del
Apesar de se tratar dum grave caso de abuso de notação , é muito comum se encontrar a seguinte definição de vector del :
∇ ∇ -->
→ → -->
=
∑ ∑ -->
i
q
^ ^ -->
i
h
i
⋅ ⋅ -->
∂ ∂ -->
∂ ∂ -->
x
→ → -->
i
{\displaystyle {\vec {\nabla }}=\sum ^{i}{\frac {{\hat {q}}_{i}}{h_{i}}}\cdot {\frac {\partial }{\partial {\vec {x}}_{i}}}}
…onde
h
i
{\displaystyle h_{i}}
é o módulo do vetor
q
^ ^ -->
i
.
{\displaystyle {\hat {q}}_{i}.}
Em coordenadas cartesianas
Em coordenadas cartesianas , em que
h
i
=
1
{\displaystyle h_{i}=1}
obtém-se:
∇ ∇ -->
→ → -->
=
i
^ ^ -->
∂ ∂ -->
∂ ∂ -->
x
+
j
^ ^ -->
∂ ∂ -->
∂ ∂ -->
y
+
k
^ ^ -->
∂ ∂ -->
∂ ∂ -->
z
.
{\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}={\hat {i}}{\partial \over \partial x}+{\hat {j}}{\partial \over \partial y}+{\hat {k}}{\partial \over \partial z}.}
Em coordenadas cilíndricas
Em coordenadas cilíndricas em que
h
ρ ρ -->
=
h
z
=
1
,
h
φ φ -->
=
ρ ρ -->
,
{\displaystyle h_{\rho }=h_{z}=1,\ h_{\varphi }=\rho ,}
obtém-se:
∇ ∇ -->
→ → -->
=
ρ ρ -->
^ ^ -->
∂ ∂ -->
∂ ∂ -->
ρ ρ -->
+
φ φ -->
^ ^ -->
ρ ρ -->
∂ ∂ -->
∂ ∂ -->
φ φ -->
+
z
^ ^ -->
∂ ∂ -->
∂ ∂ -->
z
{\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}={\hat {\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}+{\frac {\hat {\varphi }}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \varphi }}+{\hat {z}}{\frac {\partial }{\partial z}}}
Em coordenadas esféricas
Em coordenadas esféricas , em que
h
r
=
1
,
h
θ θ -->
=
r
,
h
φ φ -->
=
r
s
e
n
θ θ -->
,
{\displaystyle h_{r}=1,\ h_{\theta }=r,\ h_{\varphi }=r{\rm {sen}}\theta ,}
obtém-se:
∇ ∇ -->
→ → -->
=
r
^ ^ -->
∂ ∂ -->
∂ ∂ -->
r
+
θ θ -->
^ ^ -->
r
∂ ∂ -->
∂ ∂ -->
θ θ -->
+
φ φ -->
^ ^ -->
r
s
e
n
θ θ -->
∂ ∂ -->
∂ ∂ -->
φ φ -->
{\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}={\hat {r}}{\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {\hat {\theta }}{r}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {\hat {\varphi }}{r\,{\rm {sen}}\,\theta }}{\frac {\partial }{\partial \varphi }}}
Derivada direcional com o vector del
Com o vector del, a derivada direcional pode ser redefinida como a combinação linear de
u
→ → -->
{\displaystyle {\vec {u}}}
com
∇ ∇ -->
→ → -->
:
{\displaystyle {\vec {\nabla }}:}
∇ ∇ -->
→ → -->
u
→ → -->
=
∑ ∑ -->
i
u
→ → -->
i
⋅ ⋅ -->
∂ ∂ -->
∂ ∂ -->
x
→ → -->
i
=
u
→ → -->
⋅ ⋅ -->
∇ ∇ -->
→ → -->
{\displaystyle {\vec {\nabla }}_{\vec {u}}=\sum ^{i}{\vec {u}}_{i}\cdot {\frac {\partial }{\partial {\vec {x}}_{i}}}={\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }}}
Em três dimensões no espaço carteseano
x
→ → -->
=
⟨
x
,
y
,
z
⟩
{\displaystyle {\vec {x}}=\left\langle x,y,z\right\rangle }
temos que:
∇ ∇ -->
→ → -->
=
ı ı -->
^ ^ -->
⋅ ⋅ -->
∂ ∂ -->
∂ ∂ -->
x
+
ȷ ȷ -->
^ ^ -->
⋅ ⋅ -->
∂ ∂ -->
∂ ∂ -->
y
+
k
^ ^ -->
⋅ ⋅ -->
∂ ∂ -->
∂ ∂ -->
z
=
⟨
∂ ∂ -->
∂ ∂ -->
x
,
∂ ∂ -->
∂ ∂ -->
y
,
∂ ∂ -->
∂ ∂ -->
z
⟩
{\displaystyle {\vec {\nabla }}={\hat {\imath }}\cdot {\frac {\partial }{\partial x}}+{\hat {\jmath }}\cdot {\frac {\partial }{\partial y}}+{\hat {k}}\cdot {\frac {\partial }{\partial z}}=\left\langle {\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right\rangle }
E:
∇ ∇ -->
→ → -->
u
→ → -->
=
u
→ → -->
x
⋅ ⋅ -->
∂ ∂ -->
∂ ∂ -->
x
+
u
→ → -->
y
⋅ ⋅ -->
∂ ∂ -->
∂ ∂ -->
y
+
u
→ → -->
z
⋅ ⋅ -->
∂ ∂ -->
∂ ∂ -->
z
{\displaystyle {\vec {\nabla }}_{\vec {u}}={\vec {u}}_{x}\cdot {\frac {\partial }{\partial x}}+{\vec {u}}_{y}\cdot {\frac {\partial }{\partial y}}+{\vec {u}}_{z}\cdot {\frac {\partial }{\partial z}}}
Divergência com o vector del
A divergência passa a ser a combinação linear (não o produto escalar ! – veja abaixo) entre o vector del e o campo vectorial em questão:
∇ ∇ -->
→ → -->
⋅ ⋅ -->
F
→ → -->
=
∑ ∑ -->
i
∂ ∂ -->
∂ ∂ -->
x
→ → -->
i
⋅ ⋅ -->
F
→ → -->
i
{\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {F}}=\sum ^{i}{\frac {\partial }{\partial {\vec {x}}_{i}}}\,\cdot \,{\vec {F}}_{i}}
Laplaciano com o vector del
A combinação linear do vector del consigo mesmo forma o operador laplaciano:
∇ ∇ -->
→ → -->
2
=
∇ ∇ -->
→ → -->
⋅ ⋅ -->
∇ ∇ -->
→ → -->
{\displaystyle {\vec {\nabla }}^{2}={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}}
Em três dimensões no espaço carteseano
x
→ → -->
=
⟨
x
,
y
,
z
⟩
{\displaystyle {\vec {x}}=\left\langle x,y,z\right\rangle }
teriamos que:
∇ ∇ -->
→ → -->
2
=
∂ ∂ -->
2
∂ ∂ -->
x
2
+
∂ ∂ -->
2
∂ ∂ -->
y
2
+
∂ ∂ -->
2
∂ ∂ -->
z
2
{\displaystyle {\vec {\nabla }}^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}}
Rotacional com o vector del
Daí admitimos outro abuso de notação para definir rotacional:
∇ ∇ -->
→ → -->
× × -->
F
→ → -->
=
det
[
e
^ ^ -->
∇ ∇ -->
F
→ → -->
]
=
det
[
e
^ ^ -->
x
e
^ ^ -->
y
e
^ ^ -->
z
∂ ∂ -->
∂ ∂ -->
x
∂ ∂ -->
∂ ∂ -->
y
∂ ∂ -->
∂ ∂ -->
z
F
→ → -->
x
F
→ → -->
y
F
→ → -->
z
]
{\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {F}}=\det {\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {e}} &\nabla &{\vec {F}}\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}{\hat {e}}_{x}&{\hat {e}}_{y}&{\hat {e}}_{z}\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\{\vec {F}}_{x}&{\vec {F}}_{y}&{\vec {F}}_{z}\\\end{bmatrix}}}
Nesse caso, de certa forma, temos sim um produto vectorial entre o vector del e o campo vectorial.
Riscos do abuso de notação
O uso do vector del pode gerar muita confusão – por exemplo, a multiplicação envolvendo vector del e não é comutativa, distributiva nem euclideana; também o vector del não tem magnitude nem direcção. Esses fatores podem induzir iniciantes ao erro.
Alternativas ao símbolo nabla
O símbolo nabla foi introduzido por William Hamilton e rapidamente assimilado pela comunidade científica. Ainda assim, alguns autores preferem escrever a sigla de cada operador apresentado acima ao invés de usar o nabla:
∇ ∇ -->
f
=
grad
f
{\displaystyle \nabla f={\mbox{grad}}f}
∇ ∇ -->
u
→ → -->
f
=
u
→ → -->
⋅ ⋅ -->
grad
f
{\displaystyle \nabla \!_{\vec {u}}\,f={\vec {u}}\cdot {\mbox{grad}}f}
∇ ∇ -->
∙ ∙ -->
F
→ → -->
=
div
F
→ → -->
{\displaystyle \nabla \bullet {\vec {F}}={\mbox{div}}{\vec {F}}}
No caso do rotacional as siglas podem fazer referências aos termos anglófonos como "curl " ou "rotor ":
∇ ∇ -->
× × -->
F
→ → -->
=
curl
F
→ → -->
=
rot
F
→ → -->
{\displaystyle \nabla \times {\vec {F}}={\mbox{curl}}{\vec {F}}={\mbox{rot}}{\vec {F}}}
Já o laplaciano pode ser representado pela letra grega delta maiúscula em vez do tradicional nabla elevado ao quadrado.
∇ ∇ -->
2
f
=
div
grad
f
=
Δ Δ -->
f
{\displaystyle \nabla ^{2}f={\mbox{div}}{\mbox{grad}}f=\Delta f}
∇ ∇ -->
2
F
→ → -->
=
Δ Δ -->
F
→ → -->
{\displaystyle \nabla ^{2}{\vec {F}}=\mathbf {\Delta {\vec {F}}} }
Notação de Einstein
Na notação de Einstein substituimos a forma
D
J
{\displaystyle D_{J}}
por
∂ ∂ -->
J
{\displaystyle \partial _{J}}
e assumimos o vector del
∇ ∇ -->
=
[
∂ ∂ -->
J
]
.
{\displaystyle \mathbf {\nabla } =\left[\partial _{J}\right].}
Seja
φ φ -->
{\displaystyle \varphi }
um campo escalar e
F
=
[
f
J
]
{\displaystyle \mathbf {F} =\left[f_{J}\right]}
um campo vectorial ambos diferenciaveis em função do espaço
X
=
[
x
J
]
{\displaystyle \mathbf {X} =\left[x_{J}\right]}
grad
φ φ -->
=
∂ ∂ -->
i
φ φ -->
⋅ ⋅ -->
e
^ ^ -->
i
{\displaystyle {\mbox{grad}}\,\varphi =\partial _{i}\varphi \cdot {\hat {e}}_{i}}
div
F
=
∂ ∂ -->
i
f
i
{\displaystyle {\mbox{div}}\,\mathbf {F} =\partial _{i}f_{i}}
curl
F
=
|
e
^ ^ -->
∇ ∇ -->
F
|
=
ε ε -->
i
j
k
e
^ ^ -->
i
∂ ∂ -->
j
f
k
{\displaystyle {\mbox{curl}}\,\mathbf {F} ={\begin{vmatrix}\mathbf {\hat {e}} &\mathbf {\nabla } &\mathbf {F} \end{vmatrix}}=\varepsilon _{ijk}\,{\hat {e}}_{i}\partial _{j}f_{k}}
Δ Δ -->
φ φ -->
=
∂ ∂ -->
i
2
φ φ -->
{\displaystyle \Delta \varphi =\partial \,_{i}^{2}\varphi }
Δ Δ -->
F
=
Δ Δ -->
f
i
⋅ ⋅ -->
e
^ ^ -->
i
{\displaystyle \mathbf {\Delta F} =\Delta f_{i}\cdot {\hat {e}}_{i}}
A derivada direcional fica denotada por:
u
⋅ ⋅ -->
grad
φ φ -->
{\displaystyle \mathbf {u} \cdot {\mbox{grad}}\,\varphi }
upgrade
Ver também
Ligações externas