Curva bicorne

Curva bicorne

A curva bicorne, também conhecida como curva do chapéu de pontas, pela sua semelhança com o chapéu bicorne utilizado por Napoleão Bonaparte, é uma curva de equação

${\displaystyle y^{2}(a^{2}-x^{2})=(x^{2}+2ay-a^{2})^{2}\,}$

com dois cúspides simétricos ao redor do eixo y.

A bicorne é uma curva algébrica plana de quarta ordem e de gênero zero. Possui duas singularidades cúspides no plano real, e um ponto duplo no plano projetivo complexo para x=0, z=0. Se movermos x=0 e z=0 para a origem, substituindo e realizando uma rotação imaginária no x, pela troca de ix/z por x e 1/z por y na curva bicorne, obtemos

${\displaystyle (x^{2}-2az+a^{2}z^{2})^{2}=x^{2}+a^{2}z^{2}.\,}$

Esta curva, um caracol de pascal, possui um ponto duplo comum na origem, e dois nós no plano complexo, para x = ± i e z=1.

Uma curva bicorne transformada com a = 1

Referências

• J. Dennis Lawrence (1972). A catalog of special plane curves. [S.l.]: Dover Publications. pp. 147–149. ISBN 0-486-60288-5 

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