Conjectura de Ryu-Takayanagi

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A conjectura de Ryu-Takayanagi é uma conjectura do campo da holografia que postula uma relação quantitativa entre a entropia de emaranhamento de uma teoria de campo conformal (CFT) e a geometria de um espaço-tempo anti-de Sitter (AdS) associado a ela.^[1][2] A fórmula caracteriza "telas holográficas" a granel; ou seja, ela especifica quais regiões da geometria bruta são "responsáveis por informações específicas na teoria de campo conformal dual".^[3] A conjectura leva o nome de Shinsei Ryu e de Tadashi Takayanagi, os quais publicaram o resultado conjuntamente em 2006.^[4] Com isso, os autores receberam o Prêmio New Horizons in Physics de 2015 por "ideias fundamentais sobre entropia em teoria quântica de campos e gravidade quântica".^[5] A fórmula foi generalizada para uma forma covariante em 2007.^[6]

Motivação

A termodinâmica dos buracos negros sugere certas relações entre a entropia dos buracos negros e a sua geometria. Mais especificamente, a fórmula de área de Bekenstein-Hawking conjectura que a entropia de um buraco negro é proporcional à área superficial do seu horizonte de eventos:

${\displaystyle S_{\text{BH}}={\frac {k_{\text{B}}A}{4\ell _{\text{P}}^{2}}}}$

A entropia de Bekenstein-Hawking ${\displaystyle S_{\text{BH}}}$ é uma medida da informação perdida por observadores externos devido à presença do horizonte de eventos. O horizonte do buraco negro funciona como uma "tela" que define uma região do espaço-tempo (o exterior do buraco negro) que não é afetada por outra região (o interior do buraco negro). A lei da área de Bekenstein-Hawking afirma que a área dessa superfície é proporcional à entropia da informação perdida por trás dela.

A entropia de Bekenstein-Hawking é uma declaração sobre a entropia gravitacional de um sistema; no entanto, existe outro tipo de entropia que é importante na teoria da informação quântica: a entropia de emaranhamento (ou entropia von Neumann). Essa forma de entropia fornece uma medida de o quão distante de um estado puro um determinado estado quântico está, ou, equivalentemente, o quão emaranhado ele está. A entropia de emaranhamento é um conceito útil em muitas áreas, como na física da matéria condensada e em sistemas quânticos de muitos corpos. Dado seu uso e sua similaridade sugestiva com a entropia de Bekenstein-Hawking, é relevante ter uma descrição holográfica da entropia de emaranhamento em termos de gravidade.

Preliminares holográficas

O princípio holográfico afirma que as teorias gravitacionais em uma determinada dimensão são duais para uma teoria de gauge em uma dimensão inferior. A correspondência AdS/CFT é um exemplo dessa dualidade. Nesse caso, a teoria de campo é definida em um panorama fixo e é equivalente a uma teoria gravitacional quântica cujos diferentes estados correspondem a uma possível geometria do espaço-tempo. A teoria de campo conformal é frequentemente vista como estando presente no limite do espaço dimensional superior cuja teoria gravitacional ela define. O resultado dessa dualidade é um dicionário entre as duas descrições equivalentes. Por exemplo, em uma CFT definido num espaço de Minkowski d-dimensional, o estado de vácuo corresponde ao espaço AdS puro, enquanto o estado térmico corresponde a um buraco negro planar.^[7] É importante destacar, ainda, que o estado térmico de uma CFT definido na esfera d-dimensional corresponde ao buraco negro de Schwarzschild (d+1)-dimensional no espaço AdS.

A lei da área de Bekenstein-Hawking, embora afirme que a área do horizonte do buraco negro é proporcional à entropia do buraco negro, falha em fornecer uma descrição microscópica autossuficiente de como essa entropia surge. O princípio holográfico fornece tal descrição relacionando o sistema de um buraco negro a um sistema quântico que admite tal descrição microscópica. Nesse caso, a CFT possui autoestados discretos e o estado térmico é o conjunto canônico desses estados.^[7] A entropia desse conjunto pode ser calculada por métodos comuns e produz o mesmo resultado previsto pela lei de área, o que consiste num caso especial da conjectura de Ryu-Takayanagi.

Conjectura

Considere uma fatia espacial ${\displaystyle \Sigma }$ de um espaço-tempo AdS em cujo limite definimos a CFT dual. A fórmula Ryu-Takayanagi consiste em

${\displaystyle S_{A}={\frac {{\text{Area of }}\gamma _{A}}{4G}}}$

(1)

em que ${\displaystyle S_{A}}$ é a entropia de emaranhamento da CFT em alguma subregião espacial ${\displaystyle A\subset \partial \Sigma }$ com seu complemento ${\displaystyle B}$ e ${\displaystyle \gamma _{A}}$ é a superfície Ryu-Takayanagi no volume total.^[1] Essa superfície deve satisfazer três propriedades:^[7]

1. ${\displaystyle \gamma _{A}}$ tem o mesmo limite que ${\displaystyle A}$.
2. ${\displaystyle \gamma _{A}}$ é homóloga a ${\displaystyle A}$.
3. ${\displaystyle \gamma _{A}}$ extremiza a área. Se houver múltiplas superfícies extremas, ${\displaystyle \gamma _{A}}$ é a que tem a menor área.

Por causa da propriedade (3), essa superfície é normalmente chamada de superfície mínima quando o contexto é evidente. Além disso, a propriedade (1) garante que a fórmula preserve certas características da entropia de emaranhamento, como ${\displaystyle S_{A}=S_{B}}$ e ${\displaystyle S_{A_{1}+A_{2}}\geq S_{A_{1}\cup A_{2}}}$ . A conjectura fornece uma interpretação geométrica explícita da entropia de emaranhamento da CFT limite como a área de uma superfície no volume total.

Exemplo

Em seu artigo original, Ryu e Takayanagi mostram esse resultado explicitamente para um exemplo em ${\displaystyle {\text{AdS}}_{3}/{\text{CFT}}_{2}}$ no qual uma expressão para a entropia de emaranhamento já é conhecida.^[1] Para um espaço ${\displaystyle {\text{AdS}}_{3}}$ de raio ${\displaystyle R}$, a CFT dual tem uma carga central dada por

${\displaystyle c={\frac {3R}{2G}}}$

(2)

Além disso, ${\displaystyle {\text{AdS}}_{3}}$ obedece à seguinte métrica:

${\displaystyle ds^{2}=R^{2}(-\cosh {\rho ^{2}dt^{2}}+d\rho ^{2}+\sinh {\rho ^{2}d\theta ^{2}})}$

em ${\displaystyle (t,\rho ,\theta )}$ (essencialmente, uma pilha de discos hiperbólicos). Como essa métrica diverge em ${\displaystyle \rho \to \infty }$, ${\displaystyle \rho }$ é restrito a ${\displaystyle \rho \leq \rho _{0}}$. Tal imposição de um ${\displaystyle \rho }$ máximo é análoga à correspondente limitação de UV na CFT. Sendo ${\displaystyle L}$ o comprimento do sistema CFT (nesse caso, a circunferência do cilindro calculada com a métrica apropriada) e ${\displaystyle a}$ o espaçamento da rede, tem-se

${\displaystyle e^{\rho _{0}}\sim L/a}$

Neste caso, a CFT limite reside nas coordenadas ${\displaystyle (t,\rho _{0},\theta )=(t,\theta )}$ . Considere um corte ${\displaystyle t}$ fixo e tome por ${\displaystyle \theta \in [0,2\pi l/L]}$ a subregião ${\displaystyle A}$ do limite, sendo ${\displaystyle l}$ o comprimento de ${\displaystyle A}$. Nesse caso, a superfície mínima é facilmente identificada, pois é apenas a geodésica através do volume total a qual conecta ${\displaystyle \theta =0}$ e ${\displaystyle \theta =2\pi l/L}$. Lembrando o corte da rede, o comprimento da geodésica pode ser calculado por

${\displaystyle \cosh {(L_{\gamma _{A}}/R)}=1+2\sinh ^{2}\rho _{0}\sin ^{2}{\frac {\pi l}{L}}}$

(3)

Assumindo ${\displaystyle e^{\rho _{0}}>>1}$, pode-se usar a fórmula de Ryu–Takayanagi para calcular a entropia de emaranhamento. Subsituindo-se o comprimento da superfície mínima calculada em (3) e a carga central (2), a entropia de emaranhamento é dada por

${\displaystyle S_{A}={\frac {R}{4G}}\log {(e^{2\rho _{0}}\sin ^{2}{\frac {\pi l}{L}})}={\frac {c}{3}}\log {(e^{\rho _{0}}\sin {\frac {\pi l}{L}})}}$

(4)

Isso corrobora o resultado calculado por meios usuais.^[8]

Referências

1. Ryu, Shinsei; Takayanagi, Tadashi (21 de agosto de 2006). «Aspects of Holographic Entanglement Entropy». Journal of High Energy Physics. 2006 (8). 045 páginas. Bibcode:2006JHEP...08..045R. ISSN 1029-8479. arXiv:hep-th/0605073. doi:10.1088/1126-6708/2006/08/045 
2. Citação:
3. Citação:
4. Ryu, Shinsei; Takayanagi, Tadashi (maio de 2006). «Holographic Derivation of Entanglement Entropy from AdS/CFT». Phys. Rev. Lett. 96 (18). 181602 páginas. PMID 16712357. arXiv:hep-th/0603001. doi:10.1103/PhysRevLett.96.181602 
5. «Recipients of the 2015 Breakthrough Prizes in Fundamental Physics and Life Sciences Announced». www.breakthroughprize.org. Consultado em 3 de agosto de 2018 
6. Hubeny, Veronika E.; Rangamani, Mukund; Takayanagi, Tadashi (23 de julho de 2007). «A Covariant Holographic Entanglement Entropy Proposal». JHEP. 2007 (7). 062 páginas. arXiv:0705.0016. doi:10.1088/1126-6708/2007/07/062 
7. Van Raamsdonk, Mark (31 de agosto de 2016). «Lectures on Gravity and Entanglement». New Frontiers in Fields and Strings. [S.l.: s.n.] pp. 297–351. ISBN 978-981-314-943-4. arXiv:1609.00026. doi:10.1142/9789813149441_0005 
8. Calabrese, Pasquale; Cardy, John (11 de junho de 2004). «Entanglement entropy and quantum field theory». Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment. P06002 (6): P06002. arXiv:hep-th/0405152. doi:10.1088/1742-5468/2004/06/P06002