Cofator (álgebra)

Em álgebra linear, cofator ou complemento algébrico relativo a um elemento ${\displaystyle a_{i,j}}$ de uma matriz quadrada ${\displaystyle A}$ de ordem ${\displaystyle n}$ é o número ${\displaystyle C_{i,j}}$ tal que ${\displaystyle C_{i,j}=(-1)^{i+j}\,\ A_{i,j},}$ sendo ${\displaystyle A_{i,j}}$ o determinante da matriz obtida a partir da matriz original ${\displaystyle A}$ eliminando-se a linha e a coluna que contenham o elemento ${\displaystyle a_{i,j}.}$^[1]

A matriz dos cofatores ${\displaystyle C}$, matriz formada pelos respectivos cofatores dos elementos de uma matriz ${\displaystyle A}$, pode ser usada na determinação da matriz inversa ${\displaystyle A^{-1}}$ de ${\displaystyle A}$.^[2]

Exemplo

Se

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}2&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}}$

então o cofator do elemento ${\displaystyle a_{2,2}}$ (o número ${\displaystyle 5}$) é dado por

${\displaystyle C_{2,2}=(-1)^{2+2}\cdot \ {\begin{vmatrix}2&3\\7&9\end{vmatrix}}=1\cdot \ (2\cdot \ 9-3\cdot \ 7)=-3}$.

A matriz dos cofatores de ${\displaystyle A}$ é dada por

${\displaystyle C={\begin{pmatrix}C_{1,1}&C_{1,2}&C_{1,3}\\C_{2,1}&C_{2,2}&C_{2,3}\\C_{3,1}&C_{3,2}&C_{3,3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-3&6&-3\\6&-3&-2\\-3&0&2\end{pmatrix}}}$.

Referências

1. Callioli 1990, p. 212.
2. «Adjunta de uma matriz e suas propriedades». 17 de novembro de 2006. Consultado em 11 de março de 2020 

Bibliografia

• Callioli, Carlos A.; Hygino H. Domingues; Roberto C. F. Costa (1990). Álgebra Linear e Aplicações 6 ed. São Paulo: Atual. ISBN 9788570562975  A referência emprega parâmetros obsoletos |coautor= (ajuda)

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