A codificação de Shannon-Fano é um método de estatístico de compressão sem perda de dados que gera códigos de tamanho variável para cada símbolo dos conjunto de dados a ser comprimido de acordo com sua probabilidade de ocorrência. Este método foi descrito em 1948 por Claude Shannon em seu famoso artigo "A Mathematical Theory of Communication" e atribuído à Robert Fano. O método é anterior ao de codificação de Huffman, e apesar de bastante eficiente e prático, gera resultados sub-ótimos.[1]
Algoritmo
A construção do código a ser usado para a compressão segue um algoritmo bastante simples. Inicia-se com o levantamento das probabilidades de ocorrência de cada símbolo. Para efeitos práticos, a contagem do número de ocorrências de cada símbolo nos dados a serem comprimidos é o suficiente. Ordena-se então esta lista de probabilidades em ordem decrescente e separa-se a lista em duas partes de forma que cada uma dessas partes tenha aproximadamente a mesma probabilidade (i.e. a soma da probabilidade de cada símbolo de uma parte seja o mais próximo possível de 50%). A cada uma dessas partes atribui-se o primeiro dígito como sendo 0 (primeira parte) ou 1 (segunda parte). A cada metade que tiver mais de um dígito aplica-se o mesmo processo, concatenando os dígitos atribuídos em cada etapa. A seqüencia de dígitos que cada símbolo obteve nesse processo (os dígitos correspondentes a cada metade de que ele fez parte) são concatenados em ordem para formar o seu código.
Um pseudo-algoritmo que realiza este processo se encontra a seguir:
Estruturas de dados:
conjunto: Pilha
conjunto0, conjunto1: lista ordenada ou heap.
Programa:
conjunto.empilha(alfabeto)
# Processa enquanto houver conjuntos com mais de um elemento
enquanto conjunto não estiver vazio:
conjunto0 := conjunto.desempilha()
conjunto1 := conjunto vazio
max_prob := somatorio(conjunto0)
probabilidade := 0
# Divide em duas partes de probabilidades semelhantes
enquanto probabilidade < (max_prob/2):
elemento := conjunto0.remove_menor_elemento()
conjunto1.enfileira(elemento)
probabilidade := probabilidade + elemento.valor
fim enquanto
# Acrescenta um dígito no código de cada metade
para cada elemento em conjunto0:
concatena(elemento.código, 0)
fim para
para cada elemento em conjunto1:
concatena(elemento.código, 1)
fim para
# repete até o conjunto estar com apenas um elemento.
se tamanho(conjunto0) > 1
conjunto.empilha(conjunto0)
fim se
se tamanho(conjunto1) > 1
conjunto.empilha(conjunto1)
fim se
fim enquanto'
Exemplo
Para demonstrar o algoritmo em uma situação prática, vamos comprimir a cadeia de exemplo: AAAAAABBBBBCCCCDDDEEF. Se usarmos a forma padrão onde o tamanho da representação de cada caractere é fixo, a menor codificação que podemos utilizar para representá-la em binário é de três bits por caractere. Assim temos a seguinte codificação:
| Caractere
|
A
|
B
|
C
|
D
|
E
|
F
|
| Código
|
000
|
001
|
010
|
011
|
100
|
101
|
Gerando assim a os bits 000000000000000000001001001001001010010010010011011011100100101 para representar nossa seqüencia original. Isso dá 63 bits de comprimento.
Para usar o código de Shannon-Fano e comprimir esta seqüência precisamos primeiro identificar os códigos de cada caractere usado, segundo o algoritmo mostrado acima. O primeiro passo é contar as ocorrências de cada símbolo na cadeia a ser comprimida. Com isso temos:
| Caractere
|
A
|
B
|
C
|
D
|
E
|
F
|
| Contagem
|
6
|
5
|
4
|
3
|
2
|
1
|
Agora aplicamos o algoritmo nesses dados, identificando a codificação de cada caractere. O quadro abaixo mostra o funcionamento desse algoritmo, onde cada divisão dos conjuntos está devidamente ilustrada.
| Símbolo
|
A
|
B
|
C
|
D
|
E
|
F
|
| Freqüência
|
6
|
5
|
4
|
3
|
2
|
1
|
|
|
0
|
1
|
| 0
|
1
|
0
|
1
|
| 0
|
1
|
| 0
|
1
|
| Códigos
|
00
|
01
|
10
|
110
|
1110
|
1111
|
A codificação final fica então sendo: 000000000000010101010110101010110110110111011101111 num total de 51 bits. Note que nesse caso a codificação tem o mesmo tamanho que se usarmos a codificação de Huffman. Em geral o método de Shannon-Fano tem resultados semelhantes ao método de Huffman, podendo ser provado que o tamanho médio dos caracteres, T, nos dois métodos obedece a seguinte relação (onde o subscrito representa a inicial do métodos)[2]:
Aplicações
- O algoritmo de implode usado no PKZIP e outros compactadores de arquivos em formato ZIP usa a codificação de Shannon-Fano em conjunto com um algoritmo de janela deslizante baseado em LZ77.
Referências
- ↑ É possível provar que o código gerado pelo método de Huffman gera códigos livre de prefixo de tamanho ótimo para cada símbolo. Vale a pena notar que quando não se codificam símbolos diretamente, como a codificação aritmética ou os métodos baseados em dicionário (LZ77, LZ78 e derivados) podem apresentar resultados melhores em determinadas condições. Ver SALOMON, David (2000). Data Compression. The Complete Reference 2 ed. Nova Iorque: Springer. ISBN 0-387-95045-1 para uma discussão sobre a otimalidade da codificação de Huffman
- ↑ SALOMON, David (2000). Data Compression. The Complete Reference 2 ed. Nova Iorque: Springer. ISBN 0-387-95045-1
Bibliografia
- (em inglês) SALOMON, David (2000). Data Compression. The Complete Reference 2 ed. Nova Iorque: Springer. ISBN 0-387-95045-1
Ver também
