Característica de Euler

Em matemática, e mais especificamente na topologia algébrica , a característica de Euler (ou característica de Euler–Poincaré) é um invariante topológico, um número que descreve a forma ou a estrutura de um espaço topológico independentemente da forma como ela é dobrada. Este invariante foi descoberto por Leonhard Euler e demonstrada em geral por Henri Poincaré e costuma ser denotado por ${\displaystyle \chi }$ (a letra grega Chi).

A característica de Euler foi definida originalmente para poliedros, tendo sido utilizada para demonstrar vários teoremas sobre eles, incluindo a classificação dos sólidos platônicos. Leonhard Euler, matemático cujo nome é atribuído ao conceito, foi responsável por grande parte deste trabalho inicial.^[1] Na matemática moderna, a característica de Euler surge a partir da homologia e está relacionada a vários outros invariantes.^[2]

Definição

A característica de Euler de um complexo simplicial ${\displaystyle M\,}$ é dada por

${\displaystyle \chi (M)=n_{0}-n_{1}+n_{2}-n_{3}+\cdots }$

onde ${\displaystyle n_{k}\,}$ é o número de células de dimensão ${\displaystyle k\,}$.

Característica de Euler de superfícies

A característica de Euler de um cubo (topologicamente uma esfera) é 6-12+8=2.

A característica de Euler de uma superfície ${\displaystyle S\,}$ é dada por ${\displaystyle \chi (S)=V-A+F\,}$, onde ${\displaystyle V,A\,}$ e ${\displaystyle F\,}$ são respectivamente o número de vértices, arestas e faces de uma triangulação de ${\displaystyle S\,}$. Em particular a característica de Euler:^[3]

• da esfera é ${\displaystyle \chi (\mathbb {S} ^{2})=2}$
• do plano projectivo é ${\displaystyle \chi (\mathbb {P} ^{2})=1}$
• do disco é ${\displaystyle \chi (\mathbb {D} ^{2})=1}$
• do toro é ${\displaystyle \chi (\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1})=0}$
• do anel é ${\displaystyle \chi (\mathbb {S} ^{1}\times I)=0}$
• da garrafa de Klein é ${\displaystyle \chi (\mathbb {K} )=0}$
• da fita de Möbius é ${\displaystyle \chi (\mathbb {M} )=0}$

e em geral ${\displaystyle \chi (S)=2-2g\,}$, onde ${\displaystyle g\,}$ é o género de ${\displaystyle S\,}$, quando orientável e compacta.

Exemplos de poliedros convexos

A fórmula de Euler para poliedros convexos é V + F = A + 2, e a característica de Euler generaliza esta expressão para qualquer número de dimensões e para polítopos que não são, topologicamente, equivalentes à esfera (ou hiperesfera).^[1][2]

Name	Image	Vértices V	Arestas A	Faces F	Característica de Euler: V − A + F
Tetraedro		4	6	4	2
Hexaedro ou cubo		8	12	6	2
Octaedro		6	12	8	2
Dodecaedro		20	30	12	2
Icosaedro		12	30	20	2

Característica de Euler de variedades de dimensão ímpar

Pela dualidade de Poincaré, a característica de Euler de uma variedade fechada e compacta de dimensão ímpar é nula.

Referências

1. Imre Lakatos (1976). «Proofs and Refutations» (PDF). Cambridge University Press. Consultado em 25 de março de 2023 
2. Matias del Hoyo (agosto de 2020). «A caraterística de Euler» (PDF). UFF. Consultado em 25 de março de 2023 
3. Denis Vanucci Gisoldi (2013). «A característica de Euçer» (PDF). Unesp. Consultado em 25 de março de 2023