Aplicação aditiva

 Nota: Para funções aditivas em teoria dos números, veja função aditiva.

Na álgebra, uma função aditiva, ou aplicação aditiva, ou ainda aplicação Z-linear, é uma função f que preserva a operação de adição:^[1]

$${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}$$

para cada par de elementos x e y no domínio de f . Por exemplo, qualquer transformação linear é aditiva. Quando o domínio é o conjunto dos números reais, essa é a equação funcional de Cauchy. Para um caso específico dessa definição, consulte polinômio aditivo .

Mais formalmente, uma função aditiva é um homomorfismo de Z-módulos. Como um grupo abeliano é um Z-módulo, uma aplicação aditiva pode ser definida como um homomorfismo de grupos entre grupos abelianos.

Exemplos típicos incluem funções entre anéis, espaços vetoriais ou módulos que preservam o grupo aditivo. Uma função aditiva não preserva necessariamente nenhuma outra estrutura do objeto, por exemplo, a operação de produto de um anel.

Se f e g são funções aditivas, a função f + g (definida ponto a ponto) é aditiva.

Uma função V × W → X que é aditiva em cada um dos dois argumentos separadamente é chamada de função bi-aditiva ou função Z-bilinear.

Referências

1. Leslie Hogben (2013), Handbook of Linear Algebra, ISBN 9781498785600 3 ed. , CRC Press, p. 30-8 

• Roger C. Lyndon; Paul E. Schupp (2001), Combinatorial Group Theory, Springer