Algoritmo de De Casteljau

O Algoritmo de De Casteljau na matemática, no campo da análise numérica, é um método recursivo para calcular polinômios na forma de Bernstein ou da Curva de Bézier. Chamado assim por causa do seu criador Paul de Casteljau.^[1] Esse algoritmo pode ser usado também para dividir uma única curva de Bézier em duas, recebendo um valor arbitrário como parâmetro.

Embora seja um pouco mais lento, para a maior parte das arquiteturas, quando comparado com abordagens diretas, esse algoritmo se mostra numericamente estável. É amplamente usado, com algumas modificações, como o mais robusto e numericamente estável método para calculo de polinomiais.

Definição

Uma curva de Bézier B (de grau n) pode ser escrita na forma de Bernstein como se segue

${\displaystyle B(t)=\sum _{i=0}^{n}\beta _{i}b_{i,n}(t)}$,

onde b é um Polinômio de Bernstein

${\displaystyle b_{i,n}(t)={n \choose i}(1-t)^{n-i}t^{i}}$.

A curva no ponto t₀ pode ser calculada com a relação de recorrência

${\displaystyle \beta _{i}^{(0)}:=\beta _{i}{\mbox{ , }}i=0,\ldots ,n}$

${\displaystyle \beta _{i}^{(j)}:=\beta _{i}^{(j-1)}(1-t_{0})+\beta _{i+1}^{(j-1)}t_{0}{\mbox{ , }}i=0,\ldots ,n-j{\mbox{ , }}j=1,\ldots ,n}$

Então, a estimativa de ${\displaystyle B}$ no ponto ${\displaystyle t_{0}}$ pode ser calculada em ${\displaystyle n}$ passos do algoritmo. O resultado ${\displaystyle B(t_{0})}$ é dado por:

${\displaystyle B(t_{0})=\beta _{0}^{(n)}.}$

Além disso, a curva de Bézier ${\displaystyle B}$ pode ser dividida no ponto ${\displaystyle t_{0}}$ em duas curvas com respectivos pontos de controle:

${\displaystyle \beta _{0}^{(0)},\beta _{0}^{(1)},\ldots ,\beta _{0}^{(n)}}$

${\displaystyle \beta _{0}^{(n)},\beta _{1}^{(n-1)},\ldots ,\beta _{n}^{(0)}}$

Notas

Ao fazer os cálculos manualmente, é útil escrever os coeficientes em um esquema de triângulo como abaixo

${\displaystyle {\begin{matrix}\beta _{0}&=\beta _{0}^{(0)}&&&\\&&\beta _{0}^{(1)}&&\\\beta _{1}&=\beta _{1}^{(0)}&&&\\&&&\ddots &\\\vdots &&\vdots &&\beta _{0}^{(n)}\\&&&&\\\beta _{n-1}&=\beta _{n-1}^{(0)}&&&\\&&\beta _{n-1}^{(1)}&&\\\beta _{n}&=\beta _{n}^{(0)}&&&\\\end{matrix}}}$

Ao escolher um ponto t₀ para calcular o polinomial de Bernstein pode-se usar as duas diagonais do esquema de triângulo para construir um divisão da polinomial

${\displaystyle B(t)=\sum _{i=0}^{n}\beta _{i}^{(0)}b_{i,n}(t){\mbox{ , }}\qquad t\in [0,1]}$

em

${\displaystyle B_{1}(t)=\sum _{i=0}^{n}\beta _{0}^{(i)}b_{i,n}\left({\frac {t}{t_{0}}}\right){\mbox{ , }}\qquad t\in [0,t_{0}]}$

e

${\displaystyle B_{2}(t)=\sum _{i=0}^{n}\beta _{i}^{(n-i)}b_{i,n}\left({\frac {t-t_{0}}{1-t_{0}}}\right){\mbox{ , }}\qquad t\in [t_{0},1]}$

Exemplo

Deseja-se calcular o polinomial de Bernstein de grau 2 os coeficientes de Bernstein

${\displaystyle \beta _{0}^{(0)}=\beta _{0}}$

${\displaystyle \beta _{1}^{(0)}=\beta _{1}}$

${\displaystyle \beta _{2}^{(0)}=\beta _{2}}$

no ponto t₀.

Nós iniciamos a recursão com

${\displaystyle \beta _{0}^{(1)}=\beta _{0}^{(0)}(1-t_{0})+\beta _{1}^{(0)}t_{0}=\beta _{0}(1-t_{0})+\beta _{1}t_{0}}$

${\displaystyle \beta _{1}^{(1)}=\beta _{1}^{(0)}(1-t_{0})+\beta _{2}^{(0)}t_{0}=\beta _{1}(1-t_{0})+\beta _{2}t_{0}}$

a com a segunda iteração da recursão parando com

${\displaystyle {\begin{aligned}\beta _{0}^{(2)}&=\beta _{0}^{(1)}(1-t_{0})+\beta _{1}^{(1)}t_{0}\\\ &=\beta _{0}(1-t_{0})(1-t_{0})+\beta _{1}t_{0}(1-t_{0})+\beta _{1}(1-t_{0})t_{0}+\beta _{2}t_{0}t_{0}\\\ &=\beta _{0}(1-t_{0})^{2}+\beta _{1}2t_{0}(1-t_{0})+\beta _{2}t_{0}^{2}\end{aligned}}}$

que é o esperado polinômio de Bernstein de grau 2.

Curva de Bézier

Ao calcular uma curva de Bézier de grau n no espaço 3 dimensional com n+1 pontos de controle p _i

${\displaystyle \mathbf {B} (t)=\sum _{i=0}^{n}\mathbf {P} _{i}b_{i,n}(t){\mbox{ , }}t\in [0,1]}$

com

${\displaystyle \mathbf {P} _{i}:={\begin{pmatrix}x_{i}\\y_{i}\\z_{i}\end{pmatrix}}}$.

nós dividimos a curva de Bézier em três equações separadas

${\displaystyle B_{1}(t)=\sum _{i=0}^{n}x_{i}b_{i,n}(t){\mbox{ , }}t\in [0,1]}$

${\displaystyle B_{2}(t)=\sum _{i=0}^{n}y_{i}b_{i,n}(t){\mbox{ , }}t\in [0,1]}$

${\displaystyle B_{3}(t)=\sum _{i=0}^{n}z_{i}b_{i,n}(t){\mbox{ , }}t\in [0,1]}$

que calculamos individualmente usando o algoritmo de De Casteljau.

Interpretação geométrica

A interpretação geométrica do algoritmo de De Casteljau é simples.

• Considerando uma curva de Bézier com pontos de controle ${\displaystyle \scriptstyle P_{0},...,P_{n}}$. Conectando os pontos consecutivos, nós criamos o polígono de controle da curva.
• Sudividindo agora cada segmento deste polígono com relação ${\displaystyle \scriptstyle t:(1-t)}$ e conectando os pontos, se consegue. Desta forma você vai conseguir o novo polígono tendo menos um segmento.
• Repita o processo até conseguir chegar a um único ponto - este é o ponto da curva correspondente ao parâmetro ${\displaystyle \scriptstyle t}$.

A seguinte figura mostra o processo para um curva cúbica de Bézier:

Note que os pontos intermediários que foram construídos são de fato os pontos de controle para duas novas curvas de Bézier, ambas exatamente coincidente com a antiga. Este algoritmo não somente calcula a curva em ${\displaystyle \scriptstyle t}$, mas divide a curva em duas partes em ${\displaystyle \scriptstyle t}$, e fornece as equações das duas sub-curvas na forma de Bézier.

A interpretação dada acima é válida para uma curva de Bázier não-racional. Para calcular um curva de Bézier racional em ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {R} ^{n}}$, nós podemos projetar o ponto em ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {R} ^{n+1}}$; por exemplo, uma curva em três dimensões pode ter seus pontos de controle ${\displaystyle \scriptstyle \{(x_{i},y_{i},z_{i})\}}$ e cargas ${\displaystyle \scriptstyle \{w_{i}\}}$ projetadas para os pontos de controle ponderados ${\displaystyle \scriptstyle \{(w_{i}x_{i},w_{i}y_{i},w_{i}z_{i},w_{i})\}}$. O algoritmo então segue como usual, interpolando em ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {R} ^{4}}$. Os pontos de quatro dimensões resultantes podem ser projetados de volta no espaço 3D com uma pelo inverso (divisão homogênea).

Em geral, operações em uma curva racional (ou superfície) são equivalente a operações em uma curva não-racional em um espaço projetivo. Esta projeção como a "pontos de controle ponderados" e cargas é frequentemente conveniente ao calcular curvas racionais.

Referências

1. Teoria Local das Curvas, Roberto Simoni (2005), p. 53, página visitada em 4 de fevereiro de 2014.

Bibliografia

• Farin, Gerald & Hansford, Dianne (2000). The Essentials of CAGD. Natic, MA: A K Peters, Ltd. ISBN 1-56881-123-3
• Weisstein, Eric W. "Bézier Curve." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/BezierCurve.html

Ver também

• Curva de Bézier
• Algoritmo de Boor
• Esquema de Horner