53 temperamentos iguais

Na música, 53 temperamentos iguais, chamados 53 TET (53 Tons em Eqüi-Temperamento), 53 EDO (53 Eqüi-Divisões da Oitava) ou 53 ET, são a escala temperada derivada da divisão da oitava em 53 etapas iguais (relações de frequência iguais) (Play^ⓘ) Cada passo representa uma taxa de frequência de 2 1⁄53 ou 22,6415 centes (Play^ⓘ), um intervalo às vezes chamado de coma Holdrian.^[1][2]

O intervalo de 7⁄4 é de 4,8 cêntimos em sustenido no 53-EDO, e usá-lo para harmonia de 7 limites significa que o cleisma septimal (play^ⓘ).^[3], o intervalo 225⁄224, também é moderado.^[4][5]

Por que 53?

Ciclo de 12 quintas justas, acrescentando-se ${\displaystyle 2\pi {\frac {\ln {1,5}}{\ln {2}}}}$ rad a cada passo. Observe que a afinação justa resulta em uma assimetria nas distâncias entre cada semitom.

Ciclo de 53 quintas justas, acrescentando-se ${\displaystyle 2\pi {\frac {\ln {1,5}}{\ln {2}}}}$ rad a cada passo. Observe que, depois de 12, a primeira vez em que o ciclo é fechado com assimetrias relativamente baixas, é após 53 quintas.

A afinação pitagórica (ou temperamento pitagórico) é um sistema de entonação justa no qual intervalos de exatamente ${\displaystyle {\frac {2}{3}}}$ (também notados como 2:3) são usados para obterem-se as frequências conseguintes. Na música, intervalos 2:3 são chamados "quintas", por abrangerem 5 posições na pauta musical. Intervalos 1:2 são nomeados "oitavas" (por abrangerem 8 posições na pauta) e levam diretamente à próxima aparição da mesma nota.

Tomando-se uma frequência inicial equivalente a uma certa nota, ao percorrer-se uma sequência (ascendente ou descendente) de quintas, jamais se chega à mesma nota, já que a equação ${\displaystyle {\frac {3}{2}}^{x}=2^{y}}$ não possui solução para x e y inteiros. Entretanto, é possível chegar bem próximo da mesma nota. A primeira vez que isso ocorre é ao subirem-se 12 quintas e descerem-se 7 oitavas. Chega-se, então, a uma frequência próxima à de partida. O erro ou diferença, nesse caso, é chamado de comma pitagórico = ${\displaystyle {\frac {1,5^{12}}{2^{7}}}=1,013643265}$, equivalendo a cerca de 1/4 de um semitom. Essa é a diferença real entre, por exemplo, C e B#. Por esse motivo, 12 é o número de divisões de oitava mais usado.^{[carece de fontes?]}. Se continuarmos percorrendo um ciclo de quintas, chegamos novamente a uma frequência ainda mais próxima da inicial após correr 53 quintas e voltar 31 oitavas. Essa é a segunda ocorrência, proporcionando, agora, um erro ainda bem menor, o comma de Mercator: ${\displaystyle {\frac {1,5^{53}}{2^{31}}}=1,002090314}$. A terceira ocorrência seria após 306 quintas. Para todas essas ocorrências, temos não somente um erro cada vez menor como também espectro de subdivisões da oitava aproximadamente equidistante. Todavia, o sistema 53 EDO aqui tratado não é de afinação pitagórica, mas de iguais subdivisões da oitava. Assim como o 12 EDO, ele aproxima o sistema de afinação pitagórica de tal maneira que todos os intervalos sejam equidistantes.

História

Desde a antiguidade, já havia interesse técnico na matemática da divisão de uma oitava. Ching Fang (78-37 AC), um músico teórico Chinês, já percebera que uma série de 53 quintas é aproximadamente igual a 31 oitavas. Ele calculara com uma precisão de 6 dígitos de acurácia. Mais tarde, no século XVII, Nicholas Mercator calculou tal valor com precisão como sendo ${\displaystyle 3^{53}/2^{84}}$. Hoje, tal intervalo é conhecido como comma de Mercator e equivale a aproximadamente 3,615 cêntimos. O sistema 53 EDO encurta as quintas em 1/53 desse comma ou cerca de 0,0682 cêntimo ou 1/315 comma sintônicos ou 1/355 comma pitagóricos.

Notação

Notação usada na música clássica otomana, na qual cada tom é dividido em 9 commas

Com o intuito de se usar a notação tradicional, sete notas nomeadas seguidas de sustenido ♯ ou bemol ♭ podem acabar tornando tudo confuso. Este não é o caso de 19 EDO ou 31 EDO nos quais há pouca ambigüidade. Por não ser mesotônico, acabam aparecendo problemas que requerem certa atenção. Especificamente, a terça maior é diferente de um ditom, cada um do qual é duas quintas menos uma oitava. Da mesma forma, a terça menor é diferente de um semiditom. O facto de que o comma sintônico não é temperado significa que notas e intervalos precisam ser definidos mais precisamente. A música clássica otomana usa uma notação de bemóis e sustenidos para um tom dividido em 9 commas.

Neste artigo, a notação diatônica será usada criando a seguinte escala cromática, na qual sustenidos e bemóis não são enarmônicos, somente E e B são enarmonicamente equivalente a F e C, respectivamente. Para outras notas, bemóis e sustenidos triplos e quádruplos não são enarmônicos.

C, C♯, C, C♯, C, D, D♭, D, D♭,

D, D♯, D, D♯, D, E, E♭, E, E♭,

E, E♯, E/F, F♭,

F, F♯, F, F♯, F, G, G♭, G, G♭,

G, G♯, G, G♯, G, A, A♭, A, A♭,

A, A♯, A, A♯, A, B, B♭, B, B♭,

B, B♯, B/C, C♭, C

Tamanho de intervalos

Pelo facto de a distância de 31 passos nesta escala ser quase precisamente igual à quinta justa, em teoria esta escala pode ser considerada uma forma levemente temperada da afinação pitagórica que foi estendida a 53 tons. Como tal, os intervalos disponíveis podem ter as mesmas propriedades de qualquer afinação pitagórica, como quintas que são praticamente puras, terças maiores somente um pouco alargadas: 81⁄64 em comparação à pura terça maior 5⁄4, e terças menores que são só um pouco mais curtas (32⁄27 comparado a 6⁄5).

Não obstante, o sistema 53-EDO contém intervalos adicionais que estão muito próximos à entonação justa. Por exemplo, o intervalo de 17 passos é igualmente uma terça maior, mas apenas 1,4 cêntimos mais estreito que o intervalo justo 5⁄4. 53-EDO é muito bom como uma aproximação a qualquer intervalo em entonação justa de 5 limites.

Os casamentos de intervalos justos envolvendo o 7º harmônico são levemente menos próximos, mas todos esses tais intervalos ainda são casados, tendo 7⁄5 tritom como mais alto desvio. O 11º harmônico e os intervalos envolvendo-o são casados com menor proximidade, como ilustrado na tabela abaixo com as segundas e terças neutras em décima-primeira.

Nome do intervalo	Size (passos)	Size (cêntimos)	Razão justa	Razão justa em cents	Erro
oitava	53	1200	2:1	1200	0
sétima harmônica	43	973.59	7:4	968.83	+4.76
sexta maior	39	882.96	5:3	884	−1.04
quinta perfeita	31	701.89	3:2	701.96	−0.07
tritom diatônico	26	588.68	45:32	590.22	−1.54
tritom septimal	26	588.68	7:5	582.51	+6.17
classic tritom	25	566.04	25:18	568.72	−2.68
tritom décimo-primeiro	24	543.40	11:8	551.32	−7.92
quinta duplamente diminuta	24	543.40	512:375	539.10	+4.30
quarta aumentada em décima-primeira	24	543.40	15:11	536.95	+6.45
quarta aguda	23	520.76	27:20	519.55	+1.21
quarta perfeita	22	498.11	4:3	498.04	+0.07
quarta grave	21	475.47	320:243	476.54	−1.07
quarta estreita em sétima	21	475.47	21:16	470.78	+4.69
terça aumentada clássica	20	452.83	125:96	456.99	−4.16
terça aumentada tridécima	20	452.83	13:10	454.21	−1.38
terça maior em sétima	19	430.19	9:7	435.08	−4.90
quarta diminuta clássica	19	430.19	32:25	427.37	+2.82
ditom pitagórico	18	407.54	81:64	407.82	−0.28
terça maior justa	17	384.91	5:4	386.31	−1.40
terça maior grave	16	362.26	100:81	364.80	−2.54
terça nêutra, tridécima	16	362.26	16:13	359.47	+2.79
terça nêutra, décima-primeira	15	339.62	11:9	347.41	−7.79
terça menor aguda	15	339.62	243:200	337.15	+2.47
terça menor justa	14	316.98	6:5	315.64	+1.34
semiditom	13	294.34	32:27	294.13	+0.21
Segunda aumentada clássica	12	271.70	75:64	274.58	−2.88
terça menor em sétima	12	271.70	7:6	266.87	+4.83
terça diminuta clássica	11	249.06	144:125	244.97	+4.09
tom inteiro em sétima	10	226.41	8:7	231.17	−4.76
terça diminuta	10	226.41	256:225	223.46	+2.95
tom inteiro, tom maior	9	203.77	9:8	203.91	−0.14
tom inteiro, tom menor	8	181.13	10:9	182.40	−1.27
segunda nêutra, décima-primeira alargada	7	158.49	11:10	165.00	−6.51
segunda nêutra, tom inteiro grave	7	158.49	800:729	160.90	−2.41
segunda nêutra, décima primeira estreitada	7	158.49	12:11	150.64	+7.85
segunda nêutra, limma larga	6	135.85	27:25	133.24	+2.61
Semitom pitagórico maior	5	113.21	2187:2048	113.69	−0.48
semitom diatônico justo	5	113.21	16:15	111.73	+1.48
limma maior	4	90.57	135:128	92.18	−1.61
semitom pitagórico menor	4	90.57	256:243	90.22	+0.34
just semitom cromático	3	67.92	25:24	70.67	−2.75
diese justa	2	45.28	128:125	41.06	+4.22
comma sintônico	1	22.64	81:80	21.51	+1.14

Referências

1. Holder, William, Treatise on the Natural Grounds and Principles of Harmony, facsimile of the 1694 London edition, Broude Brothers, 1967
2. Stanley, Jerome, William Holder and His Position in Seventeenth-Century Philosophy and Music Theory, The Edwin Mellen Press, 2002
3. Haluska, Jan (2003). The Mathematical Theory of Tone Systems. [S.l.]: CRC Press. p. xxvii. ISBN 0-8247-4714-3 
4. Monzo, Joe (2005). "Mercator's Comma", Tonalsoft.
5. Patrizio. Enharmonic instruments and music, 1470–1900. (2008) Latina, Il Levante Libreria Editrice, p. 350.

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