Zasada abstrakcji

Zasada abstrakcji – twierdzenie matematyczne mówiące, że dowolnemu rozbiciu zbioru odpowiada pewna relacja równoważności, a każda relacja równoważności ustanawia pewne rozbicie zbioru^[1].

Twierdzenie

Jeśli ${\displaystyle A}$ jest zbiorem niepustym i ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ jest relacją równoważnościową na tym zbiorze, to rodzina podzbiorów ${\displaystyle \Pi =\{A_{x}:x\in A\}}$ określona następująco:

${\displaystyle A_{x}=\{y\in A:y{\mathcal {R}}x\}}$

jest rozbiciem zbioru ${\displaystyle A}$^[2].

Twierdzenie to nazywane jest zasadą abstrakcji, a zbiory rodziny ${\displaystyle \Pi }$ klasami abstrakcji relacji ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$^[2].

Dowód

Ponieważ ${\displaystyle \forall _{x\in A}x{\mathcal {R}}x,}$ więc każdy element zbioru ${\displaystyle A}$ należy do pewnego zbioru rodziny ${\displaystyle \Pi }$ i żaden z tych zbiorów nie jest pusty. Jeśli ${\displaystyle A_{x}\cap A_{y}\neq \emptyset ,}$ to istnieje ${\displaystyle z\in A_{x}\cap A_{y},}$ skąd ${\displaystyle x{\mathcal {R}}z\wedge z{\mathcal {R}}y.}$ Zatem ${\displaystyle x{\mathcal {R}}y,}$ czyli ${\displaystyle A_{x}=A_{y}}$^[3].

Twierdzenie odwrotne

Jeśli ${\displaystyle A}$ jest zbiorem niepustym i ${\displaystyle \Pi =\{A_{x}:x\in A\}}$ jest jego rozbiciem, to relacja ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ określona w zbiorze ${\displaystyle A}$ wzorem:

${\displaystyle x{\mathcal {R}}y\Leftrightarrow \exists _{t\in T}x,y\in A_{t}}$

jest równoważnościowa^[4].

Dowód

Jeśli ${\displaystyle x\in A,}$ to ponieważ ${\displaystyle A=\bigcup _{t\in T},}$ to dla pewnego ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x\in A_{t},}$ a stąd wynika, że ${\displaystyle x{\mathcal {R}}x.}$

Jeśli ${\displaystyle x,y\in A,}$ to ${\displaystyle x{\mathcal {R}}y\Rightarrow y{\mathcal {R}}x.}$ Wynika to z oczywistej implikacji: ${\displaystyle x,y\in A_{t}\Rightarrow y,x\in A_{t}.}$

Niech ${\displaystyle x{\mathcal {R}}y\wedge y{\mathcal {R}}z.}$ Istnieją ${\displaystyle i,j\in T,}$ dla których ${\displaystyle x,y\in A_{i}\wedge y,z\in A_{j}.}$ Jednak w tym wypadku ${\displaystyle A_{i}\cap A_{j}\neq \emptyset ,}$ ponieważ ${\displaystyle y\in A_{i}\cap A_{j},}$ skąd ${\displaystyle A_{i}=A_{j},}$ a więc ${\displaystyle x{\mathcal {R}}z}$^[5].

Przypisy

1. Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski: Wykłady ze wstępu do matematyki. Wprowadzenie do teorii mnogości., Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2005.
2. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s. 271.
3. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s. 271 – dowód.
4. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s. 270.
5. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s. 270-271 – Dowód.