Uogólniona funkcja logistyczna

A=M=0, K=C=1, B=3, ν=0,5, Q=-0,5

Efekt zmiany parametru A. Wszystkie pozostałe parametry wynoszą 1.

Efekt zmiany parametru B. A = 0, wszystkie pozostałe parametry wynoszą 1.

Efekt zmiany parametru C. A = 0, wszystkie pozostałe parametry wynoszą 1.

Efekt zmiany parametru K. A = 0, wszystkie pozostałe parametry wynoszą 1.

Efekt zmiany parametru Q. A = 0, wszystkie pozostałe parametry wynoszą 1.

Wpływ zmiany parametru ${\displaystyle \nu }$ . A = 0, wszystkie pozostałe parametry wynoszą 1.

Uogólniona funkcja (lub krzywa) logistyczna – funkcja generująca krzywe w kształcie litery S. Jest rozszerzeniem funkcji logistycznej. Została opracowana jako model wzrostu populacji i rozprzestrzeniania się zjawisk przez biologa F. J. Richardsa w 1959, stąd czasem nazywana jest krzywą Richardsa^[1][2].

Definicja

Uogólniona funkcja logistyczna ma następującą postać^[3]:

${\displaystyle Y(t)=A+{K-A \over (C+Qe^{-Bt})^{1/\nu }}}$

Gdzie ${\displaystyle Y}$ to wybrana miara badanego zjawiska, zaś ${\displaystyle t}$ to czas. Krzywa ma sześć parametrów:

• ${\displaystyle A}$ – lewa asymptota pozioma;
• ${\displaystyle K}$ – prawa asymptota pozioma, jeżeli ${\displaystyle C=1}$; jeśli ${\displaystyle A=0}$ i ${\displaystyle C=1}$, ${\displaystyle K}$ nazywa się pojemnością środowiska;
• ${\displaystyle B}$ – tempo wzrostu;
• ${\displaystyle \nu >0}$ – parametr wpływający na to, w pobliżu której asymptoty występuje maksymalny wzrost.
• ${\displaystyle Q}$ – parametr powiązany z wartością ${\displaystyle Y(0)}$
• ${\displaystyle C}$ – parametr zazwyczaj przyjmujący wartość 1. W przeciwnym razie prawa asymptota to ${\displaystyle A+{K-A \over C^{\,1/\nu }}}$

Równanie może również być zapisane w formie:

${\displaystyle Y(t)=A+{K-A \over (C+e^{-B(t-M)})^{1/\nu }}}$

gdzie ${\displaystyle M}$ może być traktowane jako moment początkowy, w którym ${\displaystyle Y(M)=A+{K-A \over (C+1)^{1/\nu }}}$.

Wreszcie, zapis zawierający zarówno parametr ${\displaystyle Q}$, jak i ${\displaystyle M}$ może okazać się wygodny:

${\displaystyle Y(t)=A+{K-A \over (C+Qe^{-B(t-M)})^{1/\nu }}}$

Takie sformułowanie ułatwia ustawienie zarówno czasu początkowego, jak i wartości ${\displaystyle Y}$ w tym czasie.

Jeżeli ${\displaystyle Q=\nu =1}$, otrzymamy funkcję logistyczną z punktem przegięcia w czasie ${\displaystyle M}$.

Równanie różniczkowe

Szczególnym przypadkiem uogólnionej funkcji logistycznej jest:

${\displaystyle Y(t)={K \over (1+Qe^{-\alpha \nu (t-t_{0})})^{1/\nu }}}$,

co jest rozwiązaniem równania różniczkowego Richardsa (RDE):

${\displaystyle Y^{\prime }(t)=\alpha \left(1-\left({\frac {Y}{K}}\right)^{\nu }\right)Y}$

z warunkiem początkowym

${\displaystyle Y(t_{0})=Y_{0}}$

gdzie

${\displaystyle Q=-1+\left({\frac {K}{Y_{0}}}\right)^{\nu }}$

pod warunkiem że ${\displaystyle \nu >0}$ i ${\displaystyle \alpha >0}$

Klasyczne logistyczne równanie różniczkowe jest szczególnym przypadkiem powyższego równania, gdzie ${\displaystyle \nu }$ = 1, natomiast krzywą Gompertza można odzyskać w granicy ${\displaystyle \nu \rightarrow 0^{+}}$ pod warunkiem że:

${\displaystyle \alpha =O\left({\frac {1}{\nu }}\right)}$

W rzeczywistości dla małego ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle Y^{\prime }(t)=Yr{\frac {1-\exp \left(\nu \ln \left({\frac {Y}{K}}\right)\right)}{\nu }}\approx rY\ln \left({\frac {Y}{K}}\right)}$

Równanie różniczkowe Richardsa umożliwia modelowanie wielu zjawisk wzrostu, pojawiających się w takich dziedzinach, jak onkologia i epidemiologia.

Gradient uogólnionej funkcji logistycznej

Przy estymacji parametrów na podstawie danych często konieczne jest obliczenie pochodnych cząstkowych funkcji logistycznej względem parametrów w danym punkcie danych ${\displaystyle t}$ (patrz^[4]). Jeżeli ${\displaystyle C=1}$, mamy:

${\displaystyle {\begin{aligned}\\{\frac {\partial Y}{\partial A}}&=1-(1+Qe^{-B(t-M)})^{-1/\nu }\\\\{\frac {\partial Y}{\partial K}}&=(1+Qe^{-B(t-M)})^{-1/\nu }\\\\{\frac {\partial Y}{\partial B}}&={\frac {(K-A)(t-M)Qe^{-B(t-M)}}{\nu (1+Qe^{-B(t-M)})^{{\frac {1}{\nu }}+1}}}\\\\{\frac {\partial Y}{\partial \nu }}&={\frac {(K-A)\ln(1+Qe^{-B(t-M)})}{\nu ^{2}(1+Qe^{-B(t-M)})^{\frac {1}{\nu }}}}\\\\{\frac {\partial Y}{\partial Q}}&=-{\frac {(K-A)e^{-B(t-M)}}{\nu (1+Qe^{-B(t-M)})^{{\frac {1}{\nu }}+1}}}\\\\{\frac {\partial Y}{\partial M}}&=-{\frac {(K-A)QBe^{-B(t-M)}}{\nu (1+Qe^{-B(t-M)})^{{\frac {1}{\nu }}+1}}}\\\end{aligned}}}$

Specjalne przypadki

Następujące funkcje są konkretnymi przypadkami krzywych Richardsa:

• funkcja logistyczna
• krzywa Gompertza
• funkcja von Bertalanffy’ego

Przypisy

1. F.J.F.J. Richards F.J.F.J., A Flexible Growth Function for Empirical Use, „Journal of Experimental Botany”, 10 (2), 1959, s. 290–301, DOI: 10.1093/jxb/10.2.290, ISSN 0022-0957 [dostęp 2024-06-21]  (ang.).
2. MarcoM. Mingione MarcoM. i inni, Spatio-temporal modelling of COVID-19 incident cases using Richards’ curve: An application to the Italian regions, „Spatial Statistics”, 49, Spatio-temporal spread of Covid patterns: its spread, causes and scale, 2022, s. 100544, DOI: 10.1016/j.spasta.2021.100544, ISSN 2211-6753, PMID: 36407655, PMCID: PMC9643104 [dostęp 2024-06-21] .
3. PiotrP. Dyga PiotrP., Przetwarzanie informacji obrazowej [online], 2022 .
4. Desta Fekedulegn, Mairitin P. Mac Siurtain. Parameter Estimation of Nonlinear Growth Models in Forestry. „Silva Fennica”. 33 (4), s. 327–336, 1999. DOI: 10.14214/sf.653. [zarchiwizowane z adresu]. 

Bibliografia

• F. J. Richards. A Flexible Growth Function for Empirical Use. „Journal of Experimental Botany”. 10 (2), s. 290–300, 1959. DOI: 10.1093/jxb/10.2.290. 
• J. S. Pella. A Generalised Stock-Production Model. „Bull. Inter-Am. Trop. Tuna Comm”. 13, s. 421–496, 1969. 
• Y. C. Lei. Features and Partial Derivatives of Bertalanffy–Richards Growth Model in Forestry. „Nonlinear Analysis: Modelling and Control”. 9 (1), s. 65–73, 2004. DOI: 10.15388/NA.2004.9.1.15171.