Twierdzenie Pappusa-Guldina

Twierdzenia Pappusa-Guldina, reguły Guldina^[1] – dwa twierdzenia stereometrii, ułatwiające obliczanie pola powierzchni obrotowej oraz objętości bryły obrotowej w oparciu o położenie środka masy obracanej krzywej lub figury.

Twierdzenia nazwane zostały od nazwisk Pappusa z Aleksandrii i Paula Guldina.

Pierwsze twierdzenie Pappusa-Guldina

Pole powierzchni, powstałej przez obrót jednorodnej i płaskiej linii dookoła osi leżącej w płaszczyźnie tej linii i nie przecinającej jej, jest równe długości linii ${\displaystyle (s)}$ pomnożonej przez długość okręgu ${\displaystyle (l=2\pi r_{s})}$ opisanego przy obrocie przez jej środek masy (punkt ${\displaystyle C}$).

Np. dla torusa o promieniu ${\displaystyle R}$ i promieniu okręgu ${\displaystyle r,}$ długość linii ${\displaystyle s=2\pi r,}$ długość okręgu dla środka masy ${\displaystyle l=2\pi R,}$ stąd pole torusa ${\displaystyle s\cdot l=4\pi ^{2}rR.}$

Drugie twierdzenie Pappusa-Guldina

Objętość bryły, powstałej przy obrocie figury płaskiej dookoła osi leżącej w płaszczyźnie tej figury i nie przecinającej jej, jest równa polu powierzchni figury ${\displaystyle (A)}$ pomnożonemu przez długość okręgu opisanego ${\displaystyle (l=2\pi R_{s})}$ przy obrocie przez jej środek masy (punkt ${\displaystyle C_{A}}$).

Np. dla torusa o promieniu ${\displaystyle R}$ i promieniu koła ${\displaystyle r,}$ pole powierzchni koła ${\displaystyle A=\pi r^{2},}$ długość okręgu dla środka masy ${\displaystyle l=2\pi R,}$ stąd objętość torusa ${\displaystyle A\cdot l=2\pi ^{2}r^{2}R.}$

Zobacz też

• twierdzenie Pappusa

Przypisy

1. Guldina reguły, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-16] .

Linki zewnętrzne

• PiotrP. Żmijewski PiotrP., Twierdzenie Guldina, „Delta”, lipiec 2001, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-10-24] .
• Marek Kordos, O obrotach figur płaskich, „Delta”, listopad 2015 [dostęp 2016-09-03].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Pappus's Centroid Theorem, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2022-06-20].