Reguła Masona

Reguła Masona (wzór Masona, ang. Mason’s gain formula, MGF) – metoda znajdowania transmitancji liniowego grafu przepływu sygnałów.

Wstęp

Wzór stanowi alternatywę dla algebraicznej metody znajdywania transmitancji, polega na oznaczeniu każdego sygnału, napisaniu równań opisujących jak sygnał zależy od innych sygnałów, a następnie rozwiązaniu kilku równań dla sygnału wyjściowego w kontekście sygnału wejściowego. Reguła Masona to metoda dochodzenia, krok po kroku, do uzyskania transmitancji z grafu przepływu sygnałów. Często wzór Masona w danym przypadku może być określony po zapoznaniu się z grafem przepływu sygnałów. Metoda ta w prosty sposób pozwala na analizę grafów przepływu sygnałów z wieloma zmiennymi i pętlami zawierającymi pętle w tym pętli zawierających już w sobie wewnątrz pętle. Reguła Masona pojawia się często w zagadnienia teorii sterowania i filtrów cyfrowych dlatego, że układy regulacji i filtry cyfrowe są często przedstawiane za pomocą grafów przepływu sygnałów.

Wzór

Wzór na wzmocnienie przedstawia się następująco:

${\displaystyle G={\frac {y_{\text{out}}}{y_{\text{in}}}}={\frac {\sum _{k=1}^{N}{G_{k}\Delta _{k}}}{\Delta }},}$

${\displaystyle \Delta =1-\sum L_{i}+\sum L_{i}L_{j}-\sum L_{i}L_{j}L_{k}+\ldots +(-1)^{m}\sum \ldots +\dots ,}$

gdzie:

• ${\displaystyle G}$ = całkowite wzmocnienie pomiędzy ${\displaystyle y_{\mathrm {in} }}$ i ${\displaystyle y_{\mathrm {out} }}$
• ${\displaystyle y_{\mathrm {out} }}$ = zmienna węzła wyjściowego
• ${\displaystyle y_{\mathrm {in} }}$ = zmienna węzła wejściowego
• ${\displaystyle N}$ = całkowita liczba ścieżek w przód pomiędzy ${\displaystyle y_{\mathrm {in} }}$ i ${\displaystyle y_{\mathrm {out} }}$
• ${\displaystyle G_{k}}$ = wzmocnienie ${\displaystyle k}$-tej ścieżki w przód pomiędzy ${\displaystyle y_{\mathrm {in} }}$ i ${\displaystyle y_{\mathrm {out} }}$
• ${\displaystyle \Delta _{k}}$ = współczynnik wartości ${\displaystyle \Delta }$ dla ${\displaystyle k}$-tej ścieżki do przodu, z usuniętymi pętlami stykającymi się z ${\displaystyle k}$-tą ścieżką w przód – to znaczy: usuwamy te części grafów, które tworzą pętle, pozostawiając części potrzebne dla ścieżki w przód.
• ${\displaystyle \Delta }$ = wyznacznik grafu
• ${\displaystyle L_{i}}$ = wzmocnienie pętli każdej z zamkniętych pętli w układzie
• ${\displaystyle L_{i}L_{j}}$ = iloczyn wzmocnień pętli każdych dwóch (wszystkich zbiorów) niestykających się pętli (niemających wspólnych węzłów)
• ${\displaystyle L_{i}L_{j}L_{k}}$ = iloczyn wzmocnień pętli każdych trzech niestykających się pętli

Procedura

Aby skorzystać z omawianej metody:

• Należy przygotować listę wszystkich ścieżek w przód i oznakować je ${\displaystyle G_{k}.}$
• Należy:
  • przygotować listę wszystkich pętli i ich wzmocnień i oznakować je ${\displaystyle L_{i}}$ (dla ${\displaystyle i}$ pętli);
  • przygotować listę wszystkich par niestykających się pętli i iloczynów ich wzmocnień ${\displaystyle (L_{i}L_{j});}$
  • przygotować listę wszystkich niestykających się pętli branych za każdym razem potrójnie ${\displaystyle (L_{i}L_{j}L_{k});}$
  • następnie za każdym razem poczwórnie;
  • itd. aż już nie ma nic do wzięcia.
• Obliczyć współczynnik ${\displaystyle \Delta }$ i współczynniki ${\displaystyle \Delta _{k}.}$
• Zastosować wzór.

Rys historyczny

Wzór został wyprowadzony przez Samuela Jeffersona Masona i opublikowany w 1956 roku^[1].

Przypisy

1. Samuel J. Mason: Feedback Theory – Further Properties of Signal Flow Graphs, Proceedings of the IRE. July 1956, s. 920–926.