RLC – skrótowe oznaczenie dla obwodów elektrycznych (w tym elektronicznych ) składających się tylko z trzech podstawowych elementów pasywnych :
Obwód RLC w układach prądu przemiennego
Szeregowy obwód RLC
Natężenie prądu w szeregowym obwodzie RLC z doprowadzonym napięciem sinusoidalnie zmiennym wynosi:
I
=
I
0
sin
-->
(
ω ω -->
t
)
.
{\displaystyle I=I_{0}\sin(\omega t).}
Napięcie na zaciskach źródła:
U
=
U
0
sin
-->
(
ω ω -->
t
+
φ φ -->
)
,
{\displaystyle U=U_{0}\sin(\omega t+\varphi ),}
gdzie
φ φ -->
{\displaystyle \varphi }
jest różnicą faz między natężeniem prądu i napięciem.
Dodatkowo tangens przesunięcia fazowego równa się ilorazowi różnicy reaktancji cewki i kapacytancji kondensatora przez opór omowy :
tg
-->
φ φ -->
=
ω ω -->
L
− − -->
1
ω ω -->
C
R
.
{\displaystyle \operatorname {tg} \varphi ={\frac {\omega L-{\frac {1}{\omega C}}}{R}}.}
Moduł impedancji (nazywany również zawadą lub potocznie impedancją) szeregowego obwodu RLC jest równy modułowi wektora wypadkowego całkowitego oporu takiego obwodu:
|
Z
|
=
R
2
+
(
ω ω -->
L
− − -->
1
ω ω -->
C
)
2
.
{\displaystyle |Z|={\sqrt {R^{2}+\left(\omega L-{\frac {1}{\omega C}}\right)^{2}}}.}
Mogą zajść następujące przypadki:
ω ω -->
L
>
1
ω ω -->
C
{\displaystyle \omega L>{\frac {1}{\omega C}}}
– obwód ma charakter indukcyjny , kąt przesunięcia fazowego jest większy od zera, więc natężenie prądu spóźnia się w fazie w stosunku do napięcia na zaciskach źródła,
ω ω -->
L
<
1
ω ω -->
C
{\displaystyle \omega L<{\frac {1}{\omega C}}}
– obwód ma charakter pojemnościowy , kąt przesunięcia fazowego jest mniejszy od zera, napięcie na zaciskach źródła spóźnia się w fazie w stosunku do natężenia prądu,
ω ω -->
L
=
1
ω ω -->
C
{\displaystyle \omega L={\frac {1}{\omega C}}}
– zachodzi rezonans napięć , kąt przesunięcia fazowego jest równy zero, napięcie na zaciskach źródła jest zgodne w fazie z natężeniem prądu. W tym przypadku zawada obwodu jest najmniejsza, więc natężenie prądu osiąga największą wartość. Analogicznie dla równoległego obwodu RLC wystąpić może rezonans prądów . Obydwa te zjawiska mogą być bardzo groźne dla całości układu (może wystąpić uszkodzenie elementów). W mieszanych układach występować może wielokrotny rezonans częściowy .
Częstotliwość rezonansowa (czyli taka, przy której zachodzi rezonans napięć) wynosi:
f
=
1
2
π π -->
L
C
.
{\displaystyle f={\frac {1}{2\pi {\sqrt {LC}}}}.}
Drgania własne układu RLC
Schemat zamkniętego układu RLC.
W szeregowym obwodzie RLC, w którym w chwili początkowej kondensator jest naładowany, a natężenie prądu jest równe 0, w dowolnej chwili
t
{\displaystyle t}
suma energii kondensatora , energii cewki oraz praca prądu w ciągu czasu
t
{\displaystyle t}
zamieniona na ciepło w oporze
R
{\displaystyle R}
(tzn. na ciepło Joule’a-Lenza ) jest równa energii początkowej kondensatora i jest stała.
Q
2
2
C
+
L
I
2
2
+
∫ ∫ -->
0
t
I
2
R
d
t
=
Q
m
2
2
C
=
c
o
n
s
t
.
{\displaystyle {\frac {Q^{2}}{2C}}+{\frac {LI^{2}}{2}}+\int _{0}^{t}I^{2}R\ dt={\frac {Q_{m}^{2}}{2C}}=const.}
gdzie:
Q
m
{\displaystyle Q_{m}}
jest początkowym ładunkiem kondensatora.
Po zróżniczkowaniu obydwu stron powyższego równania względem czasu
t
:
{\displaystyle t{:}}
2
Q
˙ ˙ -->
Q
2
C
+
2
I
L
I
˙ ˙ -->
2
+
I
2
R
=
0.
{\displaystyle 2{\dot {Q}}{\frac {Q}{2C}}+2I{\frac {L{\dot {I}}}{2}}+I^{2}R=0.}
Z definicji natężenia prądu:
I
=
d
Q
d
t
=
Q
˙ ˙ -->
,
{\displaystyle I={\frac {dQ}{dt}}={\dot {Q}},}
I
˙ ˙ -->
=
d
I
d
t
=
d
(
Q
˙ ˙ -->
)
d
t
=
Q
¨ ¨ -->
{\displaystyle {\dot {I}}={\frac {dI}{dt}}={\frac {d({\dot {Q}})}{dt}}={\ddot {Q}}}
można wyrazić w postaci:
I
(
Q
C
+
L
Q
¨ ¨ -->
+
Q
˙ ˙ -->
R
)
=
0.
{\displaystyle I\left({\frac {Q}{C}}+L{\ddot {Q}}+{\dot {Q}}R\right)=0.}
Aby to równanie było spełnione w dowolnej chwili
t
,
{\displaystyle t,}
wyrażenie w nawiasie powinno być równe 0. Po podzieleniu stronami przez
L
{\displaystyle L}
otrzymujemy:
Q
¨ ¨ -->
+
R
L
Q
˙ ˙ -->
+
1
L
C
Q
=
0.
{\displaystyle {\ddot {Q}}+{\frac {R}{L}}{\dot {Q}}+{\frac {1}{LC}}Q=0.}
Współczynnik przy
Q
{\displaystyle Q}
jest kwadratem pulsacji drgań własnych swobodnych obwodu
L
C
:
{\displaystyle LC{:}}
1
L
C
=
ω ω -->
0
2
.
{\displaystyle {\frac {1}{LC}}={\omega _{0}}^{2}.}
Współczynnik przy pierwszej pochodnej
Q
˙ ˙ -->
{\displaystyle {\dot {Q}}}
oznaczamy przez
2
β β -->
:
{\displaystyle 2\beta {:}}
R
L
=
2
β β -->
⇒ ⇒ -->
R
2
L
=
β β -->
.
{\displaystyle {\frac {R}{L}}=2\beta \Rightarrow {\frac {R}{2L}}=\beta .}
Równanie różniczkowe drgań elektrycznych gasnących:
Q
¨ ¨ -->
+
2
β β -->
Q
˙ ˙ -->
+
ω ω -->
0
2
Q
=
0.
{\displaystyle {\ddot {Q}}+2\beta {\dot {Q}}+{\omega _{0}}^{2}Q=0.}
Rozwiązaniem tego równania jest wzór:
Q
=
Q
m
e
− − -->
β β -->
t
cos
-->
(
ω ω -->
t
+
φ φ -->
)
.
{\displaystyle Q=Q_{m}\ e^{-\beta t}\cos(\omega t+\varphi ).}
Częstość drgań gasnących:
ω ω -->
=
ω ω -->
0
2
− − -->
β β -->
2
=
1
L
C
− − -->
R
2
4
L
2
,
{\displaystyle \omega ={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\beta ^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{LC}}-{\frac {R^{2}}{4L^{2}}}}},}
β β -->
2
<
ω ω -->
0
2
⇒ ⇒ -->
R
2
4
L
2
<
1
L
C
,
{\displaystyle \beta ^{2}<\omega _{0}^{2}\Rightarrow {\frac {R^{2}}{4L^{2}}}<{\frac {1}{LC}},}
co oznacza, iż rozwiązanie równania różniczkowego drgań elektrycznych gasnących ma miejsce przy niezbyt dużym tłumieniu.
Zmiana napięcia na kondensatorze:
U
=
Q
m
C
e
− − -->
β β -->
t
cos
-->
(
ω ω -->
t
+
φ φ -->
)
=
U
m
e
− − -->
β β -->
t
cos
-->
(
ω ω -->
t
+
φ φ -->
)
.
{\displaystyle U={\frac {Q_{m}}{C}}\ e^{-\beta t}\cos(\omega t+\varphi )=U_{m}e^{-\beta t}\cos(\omega t+\varphi ).}
Natężenie prądu jest przesunięte w fazie w stosunku do ładunku i napięcia na kondensatorze:
I
=
Q
˙ ˙ -->
=
Q
m
ω ω -->
0
e
− − -->
β β -->
t
[
− − -->
β β -->
ω ω -->
0
cos
-->
(
ω ω -->
t
+
φ φ -->
)
− − -->
ω ω -->
ω ω -->
0
sin
-->
(
ω ω -->
t
+
φ φ -->
)
]
=
Q
m
ω ω -->
0
e
− − -->
β β -->
t
cos
-->
(
ω ω -->
t
+
φ φ -->
+
α α -->
)
.
{\displaystyle I={\dot {Q}}=Q_{m}\ \omega _{0}\ e^{-\beta t}\left[-{\frac {\beta }{\omega _{0}}}\cos(\omega t+\varphi )-{\frac {\omega }{\omega _{0}}}\sin(\omega t+\varphi )\right]=Q_{m}\ \omega _{0}\ e^{-\beta t}\cos(\omega t+\varphi +\alpha ).}
Dodatkowo:
ω ω -->
ω ω -->
0
=
sin
-->
α α -->
{\displaystyle {\frac {\omega }{\omega _{0}}}=\sin \alpha }
oraz
β β -->
ω ω -->
0
=
− − -->
cos
-->
α α -->
.
{\displaystyle {\frac {\beta }{\omega _{0}}}=-\cos \alpha .}
Natężenie prądu zmienia się harmonicznie z amplitudą gasnącą wykładniczo, przy czym tangens przesunięcia fazowego natężenia prądu do napięcia wynosi:
tg
-->
α α -->
=
− − -->
ω ω -->
β β -->
=
− − -->
ω ω -->
0
2
− − -->
β β -->
2
β β -->
=
− − -->
1
L
C
− − -->
R
2
4
L
2
R
2
L
.
{\displaystyle \operatorname {tg} \alpha =-{\frac {\omega }{\beta }}=-{\frac {\sqrt {\omega _{0}^{2}-\beta ^{2}}}{\beta }}=-{\frac {\sqrt {{\frac {1}{LC}}-{\frac {R^{2}}{4L^{2}}}}}{\frac {R}{2L}}}.}
Dobroć obwodu, czyli wielkość proporcjonalna do liczby drgań Ne wykonywanych przez obwód w czasie, którego amplituda maleje
e
{\displaystyle e}
razy
D
=
π π -->
δ δ -->
=
π π -->
β β -->
T
=
ω ω -->
2
β β -->
.
{\displaystyle D={\frac {\pi }{\delta }}={\frac {\pi }{\beta T}}={\frac {\omega }{2\beta }}.}
Przy małym tłumieniu:
ω ω -->
≈ ≈ -->
ω ω -->
0
=
1
L
C
.
{\displaystyle \omega \approx \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}.}
Wobec czego:
D
≈ ≈ -->
ω ω -->
0
2
β β -->
=
1
R
L
C
.
{\displaystyle D\approx {\frac {\omega _{0}}{2\beta }}={\frac {1}{R}}{\sqrt {\frac {L}{C}}}.}
Przykłady urządzeń zawierających obwód RLC
Linki zewnętrzne