Miara spektralna

Miara spektralna – przeliczalnie addytywna miara wektorowa, określona na σ-ciele podzbiorów pewnej przestrzeni topologicznej o wartościach w zbiorze operatorów rzutowych pewnej ośrodkowej przestrzeni Hilberta, przyporządkowująca całej przestrzeni operator jednostkowy. John von Neumann zbudował współczesną mechanikę kwantową na teorii miar spektralnych.

Definicja

Niech ${\displaystyle X}$ będzie przestrzenią topologiczną, ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ σ-ciałem podzbiorów tej przestrzeni. Dalej, niech ${\displaystyle H}$ będzie ośrodkową przestrzenią Hilberta i niech ${\displaystyle L(H)}$ oznacza przestrzeń operatorów liniowych i ciągłych przestrzeni ${\displaystyle H.}$

Funkcję ${\displaystyle E\colon {\mathfrak {M}}\to L(H)}$ nazywamy miarą spektralną w przestrzeni ${\displaystyle X}$ wtedy i tylko wtedy, gdy:

1. ${\displaystyle E(B)}$ jest operatorem rzutowym dla ${\displaystyle B\in {\mathfrak {M}}.}$
2. ${\displaystyle E(X)=I,}$
3. ${\displaystyle E(B_{1}\cap B_{2})=E(B_{1})\circ E(B_{2}),\;B_{1},B_{2}\in {\mathfrak {M}}}$
4. Funkcja ${\displaystyle B\mapsto E(B)x,\;x\in H,\;B\in {\mathfrak {M}}}$ jest przeliczalnie addytywną miarą wektorową.

Własności

• Gdy ${\displaystyle B_{1},B_{2}\in {\mathfrak {M}}}$ oraz ${\displaystyle B_{1}\subseteq B_{2},}$ to ${\displaystyle E(B_{1})\leqslant E(B_{2})}$ w sensie ${\displaystyle (E(B_{1})h|h)\leqslant (E(B_{2})h|h),\;h\in H.}$ Ponieważ ${\displaystyle \|E(B_{1})h\|^{2}=(E(B_{1})h|h),}$ więc z powyższego wynika, że ${\displaystyle E(B_{1})H\subseteq E(B_{2})H}$ – operator ${\displaystyle E(B_{1})}$ rzutuje na podprzestrzeń zawartą w podprzestrzeni ${\displaystyle E(B_{2})H.}$
• Jeżeli ${\displaystyle h,k\in H}$ oraz ${\displaystyle B\in {\mathfrak {M}},}$ to równość ${\displaystyle E_{h,k}(B):=(E(B)h|k)}$ określa przeliczalnie addytywną miarę wektorową o wahaniu ograniczonym przez ${\displaystyle \|h\|\|k\|.}$

Przykład

Niech ${\displaystyle X}$ będzie przestrzenią zwartą oraz ${\displaystyle {\mathfrak {M}}={\mathcal {B}}(X)}$ – σ-ciałem zbiorów borelowskich tej przestrzeni. Jeśli ${\displaystyle \mu \colon {\mathcal {B}}(X)\to [0,\infty ]}$ jest miarą oraz ${\displaystyle H=L^{2}(\mu )}$ oznacza przestrzeń funkcji przestrzeni ${\displaystyle X,}$ całkowalnych z kwadratem w sensie ${\displaystyle \mu ,}$ to funkcja dana wzorem ${\displaystyle E(B)f=f\cdot \mathbf {1} _{B},\;B\in {\mathcal {B}}(X),f\in H}$ jest miarą spektralną, gdzie ${\displaystyle \mathbf {1} }$ oznacza funkcję charakterystyczną.

Zobacz też

• hermitowska miara spektralna
• twierdzenie Gelfanda-Najmarka
• twierdzenie spektralne

Bibliografia

• Krzysztof Maurin: Analiza - Część I - Elementy. Warszawa: PWN, 1976. Brak numerów stron w książce