Miara Dieudonnégo

Miara Dieudonnégo – przykład miary zewnętrznie regularnej, określonej na σ-ciele zbiorów borelowskich przestrzeni ${\displaystyle \omega _{1},}$ tj. przestrzeni wszystkich przeliczalnych liczb porządkowych z topologią porządkową. Nazwa tej miary została wprowadzona dla uhonorowania francuskiego matematyka Jeana Dieudonnégo.

Konstrukcja

Na zbiorze (liczbie porządkowej) ${\displaystyle \omega _{1}}$ można rozważać topologię porządkową. Można wykazać, że σ-ciało Bor(ω₁) borelowskich podzbiorów przestrzeni ω₁ daje się opisać w następujący sposób:

${\displaystyle {\mbox{Bor}}(\omega _{1})=\{A\subseteq \omega _{1}\colon \;(\exists {C\in \operatorname {Club} (\omega _{1})})(C\subseteq A\vee C\cap A=\varnothing )\},}$

gdzie Club(ω₁) oznacza zbiór wszystkich clubów na liczbie kardynalnej ${\displaystyle \omega _{1},}$ tj. rodzinę jej domkniętych i nieograniczonych podzbiorów.

Funkcja

${\displaystyle \mu \colon {\mbox{Bor}}(\omega _{1})\to [0,\infty ]}$

dana wzorem:

${\displaystyle \mu (A)=1,}$ gdy istnieje taki zbiór C ∈ Club(ω₁), że C ⊆ A, oraz

${\displaystyle \mu (A)=0,}$ w przeciwnym wypadku,

dla A ∈ Bor(ω₁), jest miarą. Miarę tę nazywa się miarą Dieudonnégo^[1].

Własności

• ${\displaystyle \mu (\omega _{1})=1,}$ więc miara Dieudonnégo jest miarą probablilistyczną; miara ta przyjmuje tylko dwie wartości: 0 i 1.
• Miara Dieudonnégo jest zewnętrznie regularna.
• Miara Dieudonnégo jest zupełna.
• Przy założeniu AD, każdy podzbiór ω₁ jest mierzalny w sensie miary Dieudonnégo (czyli każdy podzbiór ${\displaystyle \omega _{1}}$ albo jest niestacjonarny albo zawiera zbiór domknięty nieograniczony), tj. pod tym założeniem ω₁ jest liczbą mierzalną. Jednocześnie istnieje podzbiór produktu ${\displaystyle \omega _{1}\times \omega _{1}}$ który nie jest mierzalny względem odpowiedniej miary produktowej^[2]. (To ostatnie stwierdzenie jest twierdzeniem w ZF + DC.)

Przypisy

1. Fremlin, David: Topological Measure Spaces, „Measure Theory”, tom 4. Torres Fremlin. ISBN 0-9538129-4-4.
2. Kharazishvili, A.B.: A note on the Sierpiński partition. Journal of Applied Analysis, 2(1996), s. 43. [1].