Metoda Sheparda

Metoda Sheparda – sposób aproksymacji wielowymiarowej dla rozproszonych zbiorów znanych punktów aproksymacyjnych.

Ogólna postać metody Sheparda dla znalezienia wartości aproksymowanej ${\displaystyle u}$ dla danego punktu ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ma formę funkcji:

${\displaystyle u(\mathbf {x} )={\frac {\sum _{k=0}^{N}{w_{k}(\mathbf {x} )u_{k}}}{\sum _{k=0}^{N}{w_{k}(\mathbf {x} )}}},}$

gdzie:

${\displaystyle w_{k}(\mathbf {x} )={\frac {1}{d(\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{k})^{p}}}}$ – współczynnik wagowy wprowadzony przez Sheparda^[1],

${\displaystyle \mathbf {x} }$ – dowolny punkt aproksymowany,

${\displaystyle \mathbf {x} _{k}}$ – znany punkt aproksymacyjny,

${\displaystyle d}$ – określony operatorem metryki,

${\displaystyle N}$ – całkowita liczba punktów aproksymacyjnych,

${\displaystyle p}$ – parametr.

W tym przypadku wartość współczynnika wagowego zmniejsza się wraz ze wzrostem odległości pomiędzy punktem aproksymowanym ${\displaystyle \mathbf {x} }$ a punktem aproksymującym ${\displaystyle \mathbf {x} _{k}.}$ Dla ${\displaystyle 0<p<1}$ ${\displaystyle u(\mathbf {x} )}$ ma ostre wierzchołki nad punktami aproksymującymi, a dla ${\displaystyle p>1}$ jest gładka. Najczęściej przyjmuje się ${\displaystyle p=2.}$

Metoda Sheparda wynika z minimalizacji funkcjonału określającego miarę odchyłek pomiędzy punktem aproksymowanym i odpowiadającą mu wartością aproksymowaną a krotkami punktów aproksymacyjnych ${\displaystyle \{\mathbf {x} _{k},}$ ${\displaystyle u_{k}\},}$ zdefiniowanego jako:

${\displaystyle \phi (\mathbf {x} ,u)=\left(\sum _{k=0}^{N}{\frac {(u-u_{k})^{2}}{d(\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{k})^{p}}}\right)^{\frac {1}{p}}}$

oraz warunku minimalizacji:

${\displaystyle {\frac {\partial \phi (\mathbf {x} ,u)}{\partial u}}=0.}$

Modyfikacja Liszki

Modyfikacja metody Sheparda została zaproponowana w pracy Liszki^[2] w zastosowaniach do zagadnień aproksymacyjnych mechaniki doświadczalnej. Zaproponowano tu nowy współczynnik wagowy:

${\displaystyle w_{k}(\mathbf {x} )={\frac {1}{(d(\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{k})^{2}+\varepsilon ^{2})^{\frac {1}{2}}}},}$

gdzie ${\displaystyle \varepsilon }$ dobiera się w zależności od błędu pomiaru punktów aproksymacyjnych.

Przypisy

1. Donald Shepard, A two-dimensional interpolation function for irregularly-spaced data, Proceedings of the 1968 ACM National Conference, s. 517–524.
2. T. Liszka, An Interpolation Method for an Irregular Net of Nodes, „Wyd. Int. J. for Num. Meth. In Engng”, 1984.