Lokalna kwantowa teoria pola

Lokalna kwantowa teoria pola, algebraiczna kwantowa teoria pola – sformułowanie kwantowej teorii pola, w którym podstawowymi obiektami są *-algebry stowarzyszone z otwartymi podzbiorami czasoprzestrzeni spełniającymi pewne własności. Pierwotna wersja tej teorii obowiązująca jedynie w płaskiej przestrzeni została przedstawiona przez Haaga i Kastlera w 1964 roku. Obecnie podejście to stosuje się do dowolnej globalnie hiperbolicznej rozmaitości pseudoriemannowskiej.

Definicja

Współcześnie lokalną (kowariantną) kwantową teorię pola deinuje się wykorzystując język teorii kategorii. Kluczową rolę odgrywają kategorie ${\displaystyle {\mathfrak {Man}}}$ oraz ${\displaystyle {\mathfrak {Alg}}.}$ Kategoria ${\displaystyle {\mathfrak {Man}}}$ składa się z klasy obiektów ${\displaystyle Obj({\mathfrak {Man}}),}$ do której należą wszystkie globalnie hiperboliczne, zorientowane, czasowo zorientowane pseudoriemannowskie czasoprzestrzenie ${\displaystyle (M,g).}$ Dla dowolnych dwóch obiektów ${\displaystyle (M_{1},g_{1})}$ oraz ${\displaystyle (M_{2},g_{2}),}$ klasa morfizmów ${\displaystyle hom_{\mathfrak {Man}}((M_{1},g_{1}),(M_{2},g_{2}))}$ składa się z izometrycznych zanurzeń ${\displaystyle \psi :(M_{1},g_{1})\rightarrow (M_{2},g_{2}),}$ która spełnia ponadto następujące warunki:

1. dowolna krzywa kauzalna w ${\displaystyle (M_{2},g_{2}),}$ której końce są obrazami punktów z ${\displaystyle M_{1}}$ względem morfizmu ${\displaystyle \psi ,}$ jest obrazem pewnej krzywej kauzalnej w ${\displaystyle (M_{1},g_{1}),}$
2. ${\displaystyle \psi }$ zachowuje orientację i orientację czasową.

Klasą obiektów ${\displaystyle Obj({\mathfrak {Alg}})}$ są unitalne *-algebry, natomiast morfizmami w tej kategorii są wierne *-homomorfimzy zachowujące identyczność.

Lokalną (kowariantną) kwantową teorią pola nazywamy funktor kowariantny ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ pomiędzy kategoriami ${\displaystyle {\mathfrak {Man}}}$ oraz ${\displaystyle {\mathfrak {Alg}}.}$ Warunek kowariantności oznacza, że dla dowolnych morfizmów ${\displaystyle \psi _{1}\in hom_{\mathfrak {Man}}((M_{1},g_{1}),(M_{2},g_{2}))}$ oraz ${\displaystyle \psi _{2}\in hom_{\mathfrak {Man}}((M_{2},g_{2}),(M_{3},g_{3}))}$ zachodzą następujące równości: ${\displaystyle \alpha _{\psi _{1}}\otimes \alpha _{\psi _{2}}=\alpha _{\psi _{1}\otimes \psi _{2}},}$ ${\displaystyle \alpha _{id_{(M,g)}}=id_{{\mathcal {A}}(M,g)},}$ gdzie ${\displaystyle \alpha _{\psi }}$ oznacza ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\psi }.}$

Lokalna (kowariantna) kwantowa teoria pola określona przez funktor ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ nazywana jest przyczynową wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych morfizmów ${\displaystyle \psi _{j}\in hom_{\mathfrak {Man}}((M_{j},g_{j}),(M,g)),~j=1,2,}$ takich, że ${\displaystyle \psi (M_{1})}$ oraz ${\displaystyle \psi (M_{2})}$ są przyczynowo rozdzielone zachodzi:

${\displaystyle [\alpha _{\psi _{1}}({\mathcal {A}}((M_{1},g_{1}))),\alpha _{\psi _{2}}({\mathcal {A}}((M_{2},g_{2})))]=0,}$

gdzie ${\displaystyle [A,B]=\{ab-ba:a\in A,b\in B\}.}$

Lokalna (kowariantna) teoria pola określona przez funktor ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ spełnia aksjomat ewolucji wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle \alpha _{\psi }({\mathcal {A}}(M,g))={\mathcal {A}}(M',g')}$ dla dowolnego ${\displaystyle \psi \in hom_{\mathfrak {Man}}((M,g),(M',g')),}$ takiego, że ${\displaystyle \psi (M)}$ zawiera powierzchnię Cauchy’ego dla ${\displaystyle (M',g').}$

Zastosowania

Lokalna kwantowa teoria pola jest uniwersalnym językiem, który pozwala na precyzyjny opis efektów kwantowych zachodzących w płaskiej lub zakrzywionej czasoprzestrzeni. Najbardziej znaną klasą modeli, dających się sformułować w tym języku są tzw. swobodne kwantowe teorie pola. Podejście to stosuje się również do oddziałujących kwantowych teorii pola, jednak, jak dotąd, są one zdefiniowane jedynie formalnie. Jest ono szczególnie użyteczne w przypadku kwantowej teorii pola w zakrzywionej czasoprzestrzeni.

Bibliografia

• Haag, Kastler. An algebraic approach to quantum field theory. „Journal of Mathematical Physics”. 5, s. 848–861, 1964. Sprawdź autora:1 oraz 2.
• Brunetti, Fredenhagen, Verch. The generally covariant locality principle – A new paradigm for local quantum field theory. „Communications in mathematical physics”. 237 (1), s. 31–68, 2003. Sprawdź autora:1, 2 oraz 3.
• Haag: Local quantum physics. Wyd. 2nd. Berlin: Springer-Verlag, 1992.Sprawdź autora:1. Brak numerów stron w książce