Liniowo niezależny układ wektorów
Liniowo niezależny układ wektorów – układ wektorów przestrzeni wektorowej rozpiętej nad ciałem dla którego każda zerująca się[a] kombinacja jest trywialna[1], tzn. dla każdego układu skalarów prawdziwa jest implikacja[1]:
![{\displaystyle \left(\sum _{\iota =1}^{s}\alpha _{\iota }x_{\iota }=\mathbf {0} \right)\Rightarrow \left(\forall _{1\geqslant \iota \geqslant s}\ \alpha _{\iota }=0\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a816d480adc68dc9ddecb2c0e59046b053a7da84)
Przykład
Układ wektorów przestrzeni gdzie:
![{\displaystyle a:=(0,5,7)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7288cb316281e47431df4f935242177a2aca411)
![{\displaystyle b:=(0,1,-2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10deb8a5fd2d260bd2c477320f960f4157a6083e)
![{\displaystyle c:=(-4,0,0),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcfb980f8898a57ac7efe38496de6018c8aef939)
jest liniowo niezależny, ponieważ[2]:
![{\displaystyle \alpha _{1}a+\alpha _{2}b+\alpha _{3}c=\mathbf {0} \Rightarrow (-4\alpha _{3},5\alpha _{1}+\alpha _{2},7\alpha _{1}-2\alpha _{2})=(0,0,0)\Rightarrow \alpha _{1}=\alpha _{2}=\alpha _{3}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a2381dd9c91d98649fce0b4fe11bf3851ce83a9)
Własności
- Każdy niepusty podukład układu liniowo niezależnego jest liniowo niezależny[3].
- W szczególności: do żadnego układu liniowo niezależnego nie należy wektor zerowy[4].
- Układ wektorów jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy żaden z wektorów tego układu nie jest kombinacją liniową pozostałych wektorów tego układu[5].
- Układ jednoelementowy
jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy [6].
- Dwa układy równoważne, liniowo niezależne, są równoliczne[7].
- Niech będą dane równoliczne układy wektorów:
tej samej przestrzeni przy czym układ jest liniowo niezależny oraz wyraża się liniowo przez układ Wtedy te układy są układami równoważnymi[8].
Uwagi
- ↑ Czyli równa
Symbolem tym oznaczamy wektor zerowy przestrzeni
Przypisy
- ↑ a b Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2, s. 90, Definicja 6.6.
- ↑ Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s. 90.
- ↑ Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2, s. 91, Twierdzenie 6.11.
- ↑ Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2, s. 92, Wniosek 6.4.
- ↑ Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2, s. 91, Twierdzenie 6.9.
- ↑ Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2, s. 91, Twierdzenie 6.10.
- ↑ Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2, s. 93, Wniosek 6.6.
- ↑ Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2, s. 93, Wniosek 6.5.
|
|