Kwantowanie, kwantyzacja[1] – konstrukcja pozwalająca na przejście z klasycznej teorii pola do kwantowej teorii pola. Kwantowanie jest uogólnieniem konstrukcji stosowanej przy przejściu z mechaniki klasycznej do mechaniki kwantowej.
W bardziej popularnym znaczeniu przez kwantowanie rozumie się fakt istnienia skończonego lub przeliczalnego zbioru dopuszczalnych wartości danej wielkości. Na przykład mówiąc, że energia elektronu w atomie jest skwantowana rozumie się przez to, że możliwe do zaobserwowania są tylko określone jej wartości, zwane w tym przypadku poziomami energetycznymi.
Metody kwantowania
Kwantowanie kanoniczne
W mechanice klasycznej układ opisywany jest przez funkcję Hamiltona (hamiltonian będący funkcją położeń uogólnionych
i pędów uogólnionych
– zmiennych kanonicznych). W formalizmie kanonicznym wprowadza się nawiasy Poissona definiowane jako
![{\displaystyle \{A,B\}=\sum _{i=1}\left({\frac {\partial A}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial B}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial A}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial B}{\partial q_{i}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/662efe415ab129eb1d2b41f804eded1aa300d6c3)
Zgodnie z definicją nawiasy Poissona dla zmiennych kanonicznych wynoszą odpowiednio (
i
indeksują zmienne kanoniczne)
![{\displaystyle \{q_{l},q_{k}\}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f268baba69d4b8596291037d61b0be645da497d1)
![{\displaystyle \{p_{l},p_{k}\}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb64f3c7487c7cf28b79fc012a0686f340cb2a1a)
![{\displaystyle \{q_{l},p_{k}\}=\delta _{lk}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5039278d0d7265828be3ab4c04f473af3885194b)
Kwantowanie kanoniczne polega na zmianie zmiennych kanonicznych na operatory oraz nawiasów Poissona na komutatory
![{\displaystyle \{.,.\}\longrightarrow {\frac {1}{i\hslash }}[.,.],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b0a91f5bd04785cd429717fc6393379ce5d51a6)
czyli
![{\displaystyle {\hat {H}}=H({\hat {q}},{\hat {p}},t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46edf7cdd5682dccbe5fb7b15f3abcd3bda6057e)
![{\displaystyle [{\hat {q}}_{l},{\hat {q}}_{k}]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b3312a39c77762f7baf6f40d85008ae7f4814e8)
![{\displaystyle [{\hat {p}}_{l},{\hat {p}}_{k}]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c52b146c5856841041738f0efd9e0a3e5b09d67)
![{\displaystyle [{\hat {q}}_{l},{\hat {p}}_{k}]=i\hslash \delta _{lk}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a3c41389a0f42c77d952869bbc91ee3f17ecfda)
Popularnym sposobem kwantyzacji jest wprowadzenie funkcji falowej. Korzysta się z faktu, że na przestrzeni funkcji
można wprowadzić operatory
![{\displaystyle {\hat {q}}_{i}\Psi (q)=q_{i}\Psi (q),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4947a1b0e48f8d46767bb4054a20812a6741b5f)
![{\displaystyle {\hat {p}}_{i}\Psi (q)=-i\hslash {\frac {\partial \Psi (q)}{\partial q_{i}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/690727a82a5bc90ae8478aadb08fe7f1d4252775)
spełniające odpowiednie reguły komutacyjne. W ten sposób problem znalezienia stanów własnych pewnych operatorów sprowadza się do rozwiązania odpowiedniego równania różniczkowego.
Przykład nierelatywistycznej cząstki swobodnej
Klasyczny hamiltonian opisujący taką cząstkę ma postać
Odpowiadający mu kwantowy operator to
Szukając stanu kwantowego o ustalonej wartości energii, rozwiązujemy równanie
![{\displaystyle -{\frac {\hslash ^{2}}{2m}}\Delta \Psi ({\vec {x}})=E\Psi ({\vec {x}}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f06c8f84f36561216c4f6133dbd634ef7286344)
Możliwe jest jednoczesne żądanie ustalonej wartości pędu:
![{\displaystyle -i\hslash {\vec {\nabla }}\Psi ({\vec {x}})={\vec {k}}\Psi ({\vec {x}}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9151aa594fe0fe7d8a60da099fd883365335222)
Rozwiązując te równania, znajdujemy
![{\displaystyle \Psi ({\vec {x}})=Ne^{\frac {i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}}{\hslash }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/382b4b6f5a10e8d959798cd9e10ff141f4f3a0e8)
![{\displaystyle E={\frac {1}{2m}}{\vec {k}}^{\,2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f5b6303b2d903e93ec295b366f1f80314c274d6)
W tym przypadku kwantowy związek między energią i pędem jest taki sam jak klasyczny.
Zobacz też
Przypisy
Bibliografia