Jądro półgrupy

Jądro półgrupy – najmniejszy dwustronny ideał danej półgrupy. Nie każda półgrupa posiada ideał. Jądro jest półgrupą idealnie prostą, to znaczy nie zawiera żadnego właściwego ideału dwustronnego^[1]. Rozwój algebraicznej teorii półgrup rozpoczął się od pracy rosyjskiego matematyka A.K. Suszkiewicza w „Mathematische Annalen” (1928), w której wyjaśnił on strukturę jądra dowolnej półgrupy skończonej.

Ponieważ dwa dwustronne ideały A i B półgrupy P zawsze zawierają ich iloczyn

${\displaystyle AB=\{ab:a\in A,b\in B\},}$

więc półgrupa P może zawierać tylko jedno jądro.

Jeśli jądro półgrupy P jest grupą, to P nazywamy homogrupą. Półgrupa P jest homogrupą wtedy i tylko wtedy, gdy w P istnieje element z dzielący się z prawej i lewej strony przez dowolny element z P (to znaczy ${\displaystyle z\in xP\cap Px}$ dla dowolnego ${\displaystyle x\in P}$).

Przykłady

• Każda półgrupa skończona posiada jądro. W półgrupie ${\displaystyle (\mathbb {Z} _{6},\cdot )=\{0,1,2,3,4,5\}}$ ideałem minimalnym jest {0}.
• W półgrupie liczb naturalnych ${\displaystyle (\mathbb {N} ,\cdot )}$ nie ma jąder, ponieważ każde dwa ideały ${\displaystyle (m)=m\mathbb {N} ,(n)=n\mathbb {N} }$ zawierają ideał ${\displaystyle (mn)=mn\mathbb {N} .}$

Przypisy

1. A.H. Clifford, G.B. Preston: The algebraic theory of semigroups. Wyd. 1. American Mathematical Society, 1964. Brak numerów stron w książce, strona 98 wydania rosyjskiego.

Bibliografia

• А.К. Сушкевич. Über die endlichen Gruppen ohne das Gesets der eindeutigen Umkehrbarkeit. „Mat. Ann.”. 99, s. 30–50, 1928. 
• A.H. Clifford, G.B. Preston: The algebraic theory of semigroups. Wyd. 1. American Mathematical Society, 1964. Brak numerów stron w książce