Henry Scott zdobył wykształcenie w Eton College. W latach 1764–1766 podróżował po Europie z Adamem Smithem jako swoim nauczycielem. Od 1777 zarządzał Królewskim Bankiem Szkocji. Od 1778 był kapitanem Królewskiej Kompanii Łuczników. W 1783 r. Buccleuch został pierwszym prezesem Towarzystwa Królewskiego w Edynburgu. 23 grudnia1767 r. został kawalerem Orderu Ostu. Zrezygnował z tej funkcji w 1794, kiedy to został kawalerem Orderu Podwiązki. W latach 1794–1812 był Lordem Namiestnikiem Haddington i Midlothian. W latach 1804–1812 był Lordem Namiestnikiem Roxburghshire.
Książę Buccleuch był przyjacielem ekonomisty Adama Smitha i pisarza Waltera Scotta.