Funkcje minimum i maksimum
Funkcje minimum i maksimum – funkcje przypisujące zbiorowi częściowo uporządkowanemu jego odpowiednio element najmniejszy i największy (o ile takie elementy istnieją). Często w zastosowaniach praktycznych rozważany zbiór ma skończenie wiele elementów (np. tylko dwa).
Zbiory liczbowe
Minimum i maksimum formalnie są funkcjami przypisującymi parze liczb rzeczywistych odpowiednio mniejszą (w przypadku minimum) i większą (w przypadku maksimum) z tych liczb. Dokładniej, dla funkcje te dane są wzorami:
![{\displaystyle \min(x,y)={\begin{cases}y,&{\mbox{gdy }}x\geqslant y\\x,&{\mbox{gdy }}y\geqslant x\end{cases}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/397e3ce2e373926ec67c8a933f390e14fe94c678)
![{\displaystyle \max(x,y)={\begin{cases}x,&{\mbox{gdy }}x\geqslant y\\y,&{\mbox{gdy }}y\geqslant x\end{cases}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f33be07dbea6b93e444d149836613e79967e5d38)
Funkcje minimum i maksimum można zapisać jawnymi wzorami:
[1]
[2]
Odwrotnie, wartość bezwzględną można wyrazić za pomocą funkcji maksimum[3] i minimum:
![{\displaystyle |x|=\max(-x,x)\ =-\min(-x,x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dff6d98082d5e723ed64e00fefbbcbb93092595)
Ponadto
![{\displaystyle \max(x,y)=x+y-\min(x,y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fde7ec68f5f1b6f802a804ecf897485ed74146e)
![{\displaystyle \min(x,y)=x+y-\max(x,y).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73da7b1100ccc7e1989332fdc8ca0ced60359b37)
Definicję te można łatwo uogólnić na funkcje skończenie wielu argumentów. Wystarczy zauważyć, że
![{\displaystyle \max(x,y,z)=\max(\max(x,y),z)=\max(x,\max(y,z)).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2e9431783d5401e34ceb088b9cf1ab7b30f33a4)
W ten sposób można zdefiniować rekurencyjnie np.
![{\displaystyle \max(x,y,z)=\max(\max(x,y),z),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7f5e4e414beb4288063c09640ff0ad26306ffbc)
itp.
Podobnie ma się rzecz z funkcją Przypadek zbiorów nieskończonych omówiony jest niżej.
W gruncie rzeczy porządek argumentów nie jest istotny, z tego względu funkcje definiuje się jako funkcje zbiorów, skracając ich zapis przez pominięcie nawiasów:
![{\displaystyle \max A,\min\{1,3,6\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/033b55bab59d320c1f53457c796a0fae3374c7b0)
Definicja ogólna
Dla dowolnego zbioru z danym częściowym porządkiem minimum i maksimum można zdefiniować jako odpowiednio element najmniejszy lub największy:
![{\displaystyle \min(P)=x\Leftrightarrow x\in P\land \forall _{p\in P}\;x\leqslant p,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4adbfef480e531f804a6c1ebbb2cb2242615d4b8)
![{\displaystyle \max(P)=x\Leftrightarrow x\in P\land \forall _{p\in P}\;x\geqslant p.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52e5aff63cf8fde585b256078f3806e923be1c78)
Dla skończonych zbiorów, jeśli porządek jest liniowy, minimum i maksimum zawsze istnieje. Dla zbiorów nieskończonych już tak nie jest. Np. odcinki (przedziały) obustronnie otwarte nie mają ani maksimum ani minimum.
Dla skończonego zbioru zachodzi ponadto:
![{\displaystyle \min(P)=\inf(P),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4f6af795786af2f13aa8608a0f4cff03dc168ef)
![{\displaystyle \max(P)=\sup(P).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df2b60110a5dbf5cced379a859914c7537372fe2)
czyli minimum pokrywa się z kresem dolnym zbioru, a maksimum z kresem górnym zbioru. Nie zawsze jest to prawda dla zbiorów nieskończonych, gdzie niekiedy istnieje kres dolny, jednak nie istnieje minimum lub też istnieje kres górny, a nie istnieje maksimum.
Minimum z dowolnego skończonego zbioru liczb rzeczywistych jest też kresem dolnym zbioru wszystkich średnich z elementów tego zbioru. Jest też granicą ciągu uogólnionych średnich rzędu dla
Maksimum z dowolnego skończonego zbioru liczb rzeczywistych jest też kresem górnym zbioru wszystkich średnich z elementów tego zbioru. Jest też granicą ciągu uogólnionych średnich rzędu dla dla
Działania
Można też traktować minimum i maksimum jako dwa działania algebraiczne. Każde z nich jest wewnętrzne, łączne i przemienne, nie posiada jednak elementu odwrotnego, a często także elementu neutralnego, więc tworzy półgrupę przemienną. Niekiedy istnieje element neutralny – jest to dla minimum największy element dziedziny, a dla maksimum jej najmniejszy element.
Niektóre języki programowania stosują do minimum i maksimum składnię funkcji (np. C, Java), a niektóre składnię operatora działania (np. SAS 4GL).
Zobacz też
Przypisy
Bibliografia
|
|