Funkcja trójkątna Funkcja trójkątna jest zdefiniowana jako:
tri
-->
(
t
)
=
∧ ∧ -->
(
t
)
=
d
e
f
max
(
1
− − -->
|
t
|
,
0
)
=
{
1
− − -->
|
t
|
,
|
t
|
<
1
0
,
dla innych
t
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tri} (t)=\land (t)\quad &{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \max(1-|t|,0)\\&={\begin{cases}1-|t|,&|t|<1\\0,&{\mbox{dla innych }}t\end{cases}}\end{aligned}}}
lub, co jest równoważne, jako splot dwóch identycznych jednostkowych funkcji prostokątnych :
tri
-->
(
t
)
=
rect
-->
(
t
)
∗ ∗ -->
rect
-->
(
t
)
=
d
e
f
∫ ∫ -->
− − -->
∞ ∞ -->
∞ ∞ -->
r
e
c
t
(
τ τ -->
)
⋅ ⋅ -->
r
e
c
t
(
t
− − -->
τ τ -->
)
d
τ τ -->
=
∫ ∫ -->
− − -->
∞ ∞ -->
∞ ∞ -->
r
e
c
t
(
τ τ -->
)
⋅ ⋅ -->
r
e
c
t
(
τ τ -->
− − -->
t
)
d
τ τ -->
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tri} (t)=\operatorname {rect} (t)*\operatorname {rect} (t)\quad &{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (\tau )\cdot \mathrm {rect} (t-\tau )\ d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (\tau )\cdot \mathrm {rect} (\tau -t)\ d\tau .\end{aligned}}}
Splot dwóch funkcji prostokątnych. Kolorem żółtym oznaczono pole będące wartością funkcji splotu w chwili t . Funkcja ta ma zastosowanie w przetwarzaniu sygnałów . Jest przykładem idealnego sygnału, którego cechy można odnaleźć w sygnałach rzeczywistych. Jednym z jej zastosowań jest Okno Trójkątne lub Okno Bartletta .
Skalowanie
Dla dowolnego parametru
a
≠ ≠ -->
0
{\displaystyle a\neq 0}
tri
-->
(
t
/
a
)
=
∫ ∫ -->
− − -->
∞ ∞ -->
∞ ∞ -->
r
e
c
t
(
τ τ -->
)
⋅ ⋅ -->
r
e
c
t
(
τ τ -->
− − -->
t
/
a
)
d
τ τ -->
=
{
1
− − -->
|
t
/
a
|
,
|
t
|
<
|
a
|
0
,
dla innych
t
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tri} (t/a)&=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (\tau )\cdot \mathrm {rect} (\tau -t/a)\ d\tau \\&={\begin{cases}1-|t/a|,&|t|<|a|\\0,&{\mbox{dla innych }}t.\end{cases}}\end{aligned}}}
Transformatę Fouriera funkcji trójkątnej można łatwo uzyskać, korzystając z twierdzenia o splocie i transformaty funkcji prostokątnej :
F
{
tri
-->
(
t
)
}
=
F
{
rect
-->
(
t
)
∗ ∗ -->
rect
-->
(
t
)
}
=
F
{
rect
-->
(
t
)
}
⋅ ⋅ -->
F
{
rect
-->
(
t
)
}
=
F
{
rect
-->
(
t
)
}
2
=
s
i
n
c
2
(
f
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{\operatorname {tri} (t)\}&={\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)*\operatorname {rect} (t)\}\\&={\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)\}\cdot {\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)\}\\&={\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)\}^{2}\\&=\mathrm {sinc} ^{2}(f).\end{aligned}}}
