Funkcja modularna Dedekinda

Funkcja modularna eta Dedekinda – funkcja zmiennej zespolonej zdefiniowana na górnej półpłaszczyźnie. Nazwa pochodzi od Richarda Dedekinda.

Zdefiniujmy ${\displaystyle q=e^{i2\pi \tau }.}$ Wtedy funkcję Dedekinda definiujemy następująco:

${\displaystyle \eta (\tau )=q^{1/24}\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n}).}$

Funkcja eta jest holomorficzna na górnej półpłaszczyźnie, nie może być jednak analitycznie przedłużona poza nią.

Funkcja eta spełnia następujące tożsamości:

${\displaystyle \eta (\tau +1)=\exp(2\pi i/24)\eta (\tau ),}$

${\displaystyle \eta (-1/\tau )={\sqrt {-i\tau }}\eta (\tau ).}$

Ogólniej,

${\displaystyle \eta \left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=\epsilon (a,b,c,d)\left(-i(c\tau +d)\right)^{1/2}\eta (\tau ),}$

gdzie ${\displaystyle a,b,c,d}$ są liczbami całkowitymi, takimi że: ${\displaystyle ad-bc=1,}$ oraz:

${\displaystyle \epsilon (a,b,c,d)=\exp i\pi \left({\frac {a+d}{12c}}+s(-d,c)\right),}$

natomiast ${\displaystyle s(h,k)}$ jest sumą Dedekinda

${\displaystyle s(h,k)=\sum _{n=1}^{k-1}{\frac {n}{k}}\left({\frac {hn}{k}}-\left\lfloor {\frac {hn}{k}}\right\rfloor -{\frac {1}{2}}\right).}$

Bibliografia

• Tom M. Apostol, Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory (2 ed), Graduate Texts in Mathematics 41 (1990), Springer-Verlag, ISBN 3-540-97127-0, See chapter 3.
• Neil Koblitz, Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms (2 ed), Graduate Texts in Mathematics 97 (1993), Springer-Verlag, ISBN 3-540-97966-2.