Element pierwszy – uogólnienie pojęcia liczby pierwszej.
Definicja
Elementem pierwszym dziedziny całkowitości
nazywamy taki niezerowy element
który nie jest dzielnikiem jedności i dla dowolnych dwóch elementów
jeśli
dzieli iloczyn
to
dzieli
lub
dzieli
[1].
Własności
- Jeżeli
jest elementem pierwszym
i dzieli iloczyn dowolnej ilości czynników z
to dzieli on co najmniej jeden z tych czynników.
- Każdy element pierwszy jest elementem nierozkładalnym, natomiast nie każdy element nierozkładalny jest elementem pierwszym.
- Dla pierścieni z jednoznacznością rozkładu każdy element nierozkładalny jest także pierwszy – pojęcia te są wtedy równoważne.
- Ideał generowany przez element pierwszy jest ideałem pierwszym.
Przypisy
- ↑ Математическая энциклопедия. Виноградов И.М. (red.). T. 4. Москва: Советская Энциклопедия, 1984, s. 709.