W wieku 13 lat rozpoczął starty w koszykówce na wózkach[3]. W 2006 roku, podczas mistrzostw świata zadebiutował w reprezentacji narodowej, z którą zdobył brązowy medal.
W 2008 był członkiem zespołu Australii, który zdobył złoty medal igrzysk paraolimpijskich, w finale pokonując ekipę Kanady 72:60. W 2010 roku, startując z reprezentacją narodową na mistrzostwach świata zdobył złoty medal. Dwa lata później, podczas igrzysk paraolimpijskich w Londynie był członkiem zespołu, który dotarł do finału turnieju. W decydującym meczu drużyna Australii przegrała z ekipą Kanady 58:64 i tym samym zdobyła srebrny medal igrzysk.
Kariera w tenisie na quadach
W 2014 roku osiągnął status profesjonalny w tenisie na wózkach, który trenował w dzieciństwie[4]. Startując w kategorii quadów, wygrał 15 turniejów wielkoszlemowych w grze pojedynczej oraz 8 w grze podwójnej. Zdobył również trzy złote medal igrzysk paraolimpijskich: dwa w grze pojedynczej (Rio de Janeiro 2016, Tokio 2020) oraz jeden w grze podwójnej (2016). Ponadto zdobył srebrny medal igrzysk paraolimpijskich w grze podwójnej (2020). W 2021 roku zdobył Złotego Wielkiego Szlema, czyli wygrał wszystkie turnieje wielkoszlemowe w sezonie oraz dodatkowo triumfował na igrzyskach paraolimpijskich w tym samym roku. W rankingu ITF był liderem zarówno w singlu, jak i w deblu. W całej karierze Alcott zwyciężył w 44 turniejach singlowych i 30 deblowych.