Biegun (analiza zespolona)

Bieguny funkcji Gamma

Biegun funkcji meromorficznej ${\displaystyle f(z)}$ – taki punkt osobliwy ${\displaystyle z=a}$ funkcji meromorficznej, w którego otoczeniu funkcja ta nie jest ograniczona, zaś w punkcie ${\displaystyle z=a}$ przyjmuje wartość nieskończoną, tj.

${\displaystyle \lim \limits _{z\to a}f(z)=+\infty \quad }$ lub ${\displaystyle \quad \lim \limits _{z\to a}f(z)=-\infty }$

Ponadto: a). jeśli część osobliwa rozwinięcia w szereg Laurenta wokół punktu ${\displaystyle z=a}$ składa się z ${\displaystyle k<\infty }$ wyrazów, to biegun ten jest rzędu ${\displaystyle k}$ b). jeśli ${\displaystyle k=\infty }$, to punkt ${\displaystyle z=a}$ jest punktem istotnie osobliwym, tzn. nie istnieje granica ${\displaystyle \lim \limits _{z\to a}f(z)}$

Uwaga: Brak granicy występuje, gdy funkcja ${\displaystyle f(z)}$ przyjmuje różne wartości przy zbliżaniu się do punktu osobliwego. Jedną z możliwości jest rozbieżność analogiczna jak funkcji rzeczywistych, gdzie istnieją różne granice lewo- i prawostronna; np. funkcja ${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}}}$ nie ma granicy w punkcie x=0, gdyż${\displaystyle \lim \limits _{x\to 0^{-}}{\tfrac {1}{x}}=-\infty }$ , zaś ${\displaystyle \lim \limits _{x\to 0^{+}}{\tfrac {1}{x}}=+\infty }$

Twierdzenia o biegunach i zerach funkcji f oraz 1/f

Tw. 1 Jeśli punkt a jest biegunem ${\displaystyle m}$-krotnym funkcji ${\displaystyle f(z)}$, to funkcja ${\displaystyle g(z)={\tfrac {1}{f(z)}}}$ jest również meromorficzna i w punkcie ${\displaystyle z=a}$ posiada zero ${\displaystyle m}$-krotne. Odwrotnie, jeśli punkt ${\displaystyle z=a}$ jest zerem ${\displaystyle m}$-krotnym funkcji${\displaystyle f(z)}$, to funkcja w tym punkcie posiada biegun ${\displaystyle m}$-krotny.

Tw. 2 Jeśli punkt ${\displaystyle z=a}$ jest biegunem ${\displaystyle m}$-krotnym funkcji ${\displaystyle f(z)}$ to funkcja ${\displaystyle g(z)}$ jest również meromorficzna i w punkcie ${\displaystyle z=a}$ posiada zero ${\displaystyle m}$-krotne.

Przykłady

Przykład 1: Funkcja ${\displaystyle f(z)=\operatorname {tg} (z)}$

w punktach ${\displaystyle z=\pi (k-{\tfrac {1}{2}})}$ ma bieguny rzędu 1.

Przykład 2: Funkcja

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2-z}}+{\frac {1}{(z-1)^{2}}}}$

a) Bieguny: w punkcie ${\displaystyle z=1}$ ma biegun rzędu 2, natomiast w punkcie ${\displaystyle z=2}$ ma biegun jednokrotny.

b) Zera: Aby obliczyć zera tej funkcji, sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika; po przekształceniach otrzymamy:

${\displaystyle f(z)={\frac {z^{2}-3z+3}{(2-z)(z-1)^{2}}}}$

Rozwiązując równanie kwadratowe, występujące w liczniku, otrzymamy

${\displaystyle f(z)={\frac {(z-z_{1})(z-z_{2})}{(2-z)(z-1)^{2}}}}$

gdzie:

${\displaystyle z_{1}={\frac {3+{\sqrt {3}}i}{2}}}$, ${\displaystyle z_{2}={\frac {3-{\sqrt {3}}i}{2}}}$ - zera funkcji ${\displaystyle f(z)}$

c) Funkcja odwrócona: Postać funkcji ${\displaystyle g(z)={\frac {1}{f(z)}}}$ łatwo znaleźć zamieniając miejscami licznik i mianownik funkcji ${\displaystyle f(z)}$

${\displaystyle g(z)={\frac {(2-z)(z-1)^{2}}{(z-z_{1})(z-z_{2})}}}$

Stąd widać, że funkcja ${\displaystyle g(z)}$ ma zera tam, gdzie funkcja ${\displaystyle f(z)}$ ma bieguny i odwrotnie - tam, gdzie funkcja ${\displaystyle f(z)}$ ma bieguny, tam funkcja ${\displaystyle f(z)}$ ma zera. Krotności zer i odpowiadających im biegunów obu funkcji są identyczne.

Bibliografia

• W. Żakowski, W. Leksiński, Matematyka cz. IV, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 1978, Rozdział III Funkcje zmiennej zespolonej, s. 233-350. ISBN 978-83-01-19359-1