Kalvenes startet trenerkarrieren i Varegg i 3. divisjon, før han foran 2005-sesongen overtok TIL Hovding i 2. divisjon etter Kjetil Knutsen. På sistnevntes anbefaling.[3]
Arna-Bjørnar
Foran 2006-sesongen ble Kalvenes ansatt som hovedtrener for Arna-Bjørnar i Toppserien for kvinner.[4] Arna-Bjørnar var nyopprykket og endte på 5.-plass i Kalvenes sin første sesong. I de kommende sesongene stabiliserte Kalvenes laget rundt på øvre halvdel av tabellen med 4.-plass i 2007, 5.-plass i 2008 og 2009, og 4.-plass igjen i 2010 og 2011. De neste sesongene tok Arna-Bjørnar ytterligere ett steg og tok bronsemedalje i 2012, 2013, og 2014. Under ledelse av Kalvenes utviklet Arna-Bjørnar en rekke framtidige landslagsspillere, deriblant Maren Mjelde, Elise Thorsnes, Kristine Minde, Vilde Bøe Risa, Amalie Eikeland, og Lisa Naalsund.[5][6] Kalvenes ble trukket frem som kanskje den viktigste faktoren til at Arna-Bjørnar ble en så voldsom talentfabrikk.[7][8] Etter ni år som hovedtrener i klubben, ga han seg etter 2014-sesongen.[9]
Åsane
Kalvenes ble ansatt som assistenttrener i Åsane under ledelse av Kjetil Knutsen foran 2015-sesongen.[10] I 2015 endte Åsane på en 11.-plass i OBOS-Ligaen, før de i 2016 endte på en 10.-plass. Til tross for gode resultater, bestemte styret i Åsane seg for å bytte ut Knutsen som hovedtrener etter 2016-sesongen.[11] Knutsen var sterkt kritisk til avgjørelsen og hadde spillergruppen bak seg som ønsket at han skulle fortsette som trener.[12] Også Morten Kalvenes og støtteapparatet til Knutsen sto bak han, og valgte å trekke seg da de mente tilliten til ledelsen er ødelagt.[13]
Brann 2
Etter 2016-sesongen ble Kalvenes ansatt som leder for U-gruppa i SK Brann, noe som innebar at han fikk hovedtreneransvaret for Brann 2.[14]
Bodø/Glimt
Foran 2019-sesongen ble Kalvenes ansatt som assistenttrener i FK Bodø/Glimt.[15] Der ble han gjenforent med hovedtrener Kjetil Knutsen som han også jobbet med i Åsane. Glimt var spådd en tøff sesong i bunnen av tabellen i 2019, og av flere på nedrykksplass.[16] Under ledelse av Knutsen og Kalvenes overrasket laget alle og tok sølv i Eliteserien, klubbens første medalje på 16 år.[17] I juli 2019 forlenget både Kalvenes og Kjetil Knutsen sine kontrakter til sommeren 2022. Knutsen uttalte at «For meg er det helt avgjørende å få med Morten. Vi har vært et bra team i Bodø/Glimt. Aasmund gjør en formidabel jobb på analyse og spillerlogistikk. Morten kjenner jeg godt og han kjenner meg og vi har mange like tanker. Og så er det noe med kjemien vi har oss to imellom».[18]
I 2020 ble Bodø/Glimt tidenes første nordnorske seriemester.[19] Glimt tapte kun én kamp og smadret det meste av rekorder i norsk fotball, deriblant flest poeng, største seiersmargin, flest seiere og flest scorede mål i løpet av en sesong i Eliteserien.[20] Også i 2021 ble Glimt seriemester, og etter 2021-sesongen forlenget både Kalvenes og Kjetil Knutsen kontrakten med Bodø/Glimt ut 2024.[21]
Etter at Kjetil Knutsen ble midlertidig suspendert, var det Kalvenes som fikk ansvaret for å lede laget i kvartfinalekampen borte mot Roma i Conference League i april 2022.[22]
Urawa Red Diamonds
I desember 2023 ble det kjent at Kalvenes var ansatt som assistenttrener i den japanske klubben Urawa Red Diamonds, under hovedtrener Per-Mathias Høgmo.[23]
Sogndal
Den 1. oktober 2024 ble Kalvenes ansatt som hovedtrener for Sogndal ut 2024.[24]
