Fürst var sønn av Anna Cathrine Thalette Backer (1834–1921) og kjøpmann og skipsreder Hans Siegwardt Fürst (1826–94). Han var bror til arkitekten Christian Fürst (1860–1910) og legen Valentin Fürst (1870–1961).
I begynnelsen av yrkeskarrieren var Fürst assistent hos broren, deretter kompanjong. Sammen med broren arbeidet han med gjenoppbyggingen av Kristiansand og Ålesund etter bybrannene i hhv. 1892 og 1904. Fra 1909 arbeidet han i Kristiania som brorens kompanjong, og da broren døde i januar 1910, overtok han firmaet. Fürst var med og preget Oslos vestkant med en rekke bygårder og villaer i tyskpåvirket stil, først med bygninger i hugget stein, senere overveiende i pusset tegl, som han anbefalte som et rimelig, værsikkert og vakkert materiale. Han tegnet etterhvert også funkispregede bygninger, og blant verkene er dessuten enkelte fabrikkbygg og helseinstitusjoner.
Fürst var sekretær i Kristiania arkitektforening i 1909–11. Han var i en årrekke arkitekturanmelder i Aftenposten, og han var redaktør for fagtidsskriftene Møbel- og byggeindustri og Huseieren. Dessuten skrev han bøker om byggetekniske emner samt et par romaner.
Arkivet etter Fürst oppbevares på Jugendstilsenteret i Ålesund. I arkivet ligger det også en håndskrevet biografi på 311 sider som omhandler brødrenes arkitektvirksomhet.[5]
Verker i utvalg
Aalesunds Kreditbank, Korsegata 8, Ålesund (1905, sammen med Christian Fürst; senere sterkt ombygget; huser nå bl.a. et apotek)
Landmandsbanken (nå Ålesund Sparebank), St. Olavs plass 1, Ålesund (1905, sammen med Christian Fürst)[6]
Villa for broren Valentin Fürst, Arnebråtveien 21D, Oslo (1905, sammen med Christian Fürst)
Posthusgården, Korsegata 9, Ålesund (1906, sammen med Christian Fürst; revet)[7]
Knutsen, Tom Audun Rossland (2008): En analyse av utvalgte bygninger oppført av Chr. og Hans Backer Fürst i Ålesund, i lys av arkitektur som prosjekt og konsept. Masteroppgave ved UiO