Han vokste opp i Tórshavn som eldst av fire barn av skipskaptein Jens Christian Degn fra Rømø og Susanne Elisabeth Anthoniussen fra Tórshavn. Faren døde tidlig, så Degn måtte avslutte realskolen for å gå i lære ved M.C. Restorffs handels- og rederivirksomhet. Degn avanserte til bokholder med prokura. Han var dessuten direktør i Telefonverk Føroya Løgtings 1906–1912. I midten av 1920-årene gikk Restorffs virksomhet konkurs. Degn arbeidet i noen år ved Rigsarkivet i København før han i 1932 ble arkivar ved landsskriftarkivet i Tórshavn. Anton Degn giftet seg i 1892 med lærerinne Petrine Pouline Cathrine Petersen fra Ørðavík. De fikk ikke egne barn, men tok til seg hennes søsterdatter Tina Mortensen som sin fosterdatter.[2]
Degn var aktiv i politikk og organisasjonsliv. Han var innvalgt på Lagtinget fra Suðurstreymoy og medlem av Færøyenes skolestyre 1906–1908. I 1906 var han blant lagtingsmennene som dannet Sambandsflokkurin. I 1907 stiftet han et litteraturselskap, Hitt føroyska bókmentafelagið, sammen med sogneprest A.C. Evensen og folkehøyskoleforstander Rasmus Rasmussen. Degn var medlem av kommunestyret i Tórshavn 1909–1922, viseborgermester 1913–1916 og borgermester 1921–1922.[2][3][4]
